Длины отрезков MK и PR одинаковы. Постройте дополнительные элементы на рисунке и докажите, что треугольники KPM

Zarina_9478

22

Известно, что длины отрезков MK и PR одинаковы. Давайте построим дополнительные элементы на рисунке и докажем, что треугольники KPM и PKR являются равными.

1. Нарисуем отрезок MP, соединяющий точки M и P:

\[MP\]

2. Так как отрезки MK и PR одинаковы, и отрезок MP является их суммой, то получаем:

\[MP = MK + KP + PR = KP + KP = 2KP\]

3. Проведем серединный перпендикуляр к отрезку MP, пусть его точка пересечения с отрезком KP обозначается как N:

\[------N--------M--------P------\]
\[-----------|-----------------\]
\[-----------|-----------------\]
\[-----------K-----------------\]

4. Так как точка N является серединой отрезка MP, значит, отрезок KN равен отрезку NP:

\[KN = NP = \frac{MP}{2} = \frac{2KP}{2} = KP\]

5. Теперь обратим внимание на треугольники KPN и KPM. У них совпадает сторона KP и сторона KN, и они имеют общий угол при точке K.

6. Из таких же сторон следует, что эти треугольники равны по теореме SSS (сторона-сторона-сторона):

\[\triangle KPN \cong \triangle KPM\]

7. Поскольку равные треугольники имеют равные углы, то у них равны углы при точке N и углы при точке M:

\[\angle KPN = \angle KPM\]

8. Рассмотрим треугольники PKR и KPM. У них совпадает сторона KP и сторона PM, и они имеют общий угол при точке P.

9. Из таких же сторон следует, что эти треугольники равны по теореме SSS (сторона-сторона-сторона):

\[\triangle PKR \cong \triangle KPM\]

10. Поскольку равные треугольники имеют равные углы, то у них равны углы при точке P и углы при точке M:

\[\angle PKR = \angle KPM\]

11. Таким образом, мы доказали, что треугольники KPM и PKR являются равными.

Мы использовали свойства равенства треугольников и основные конструкции геометрии (построение серединного перпендикуляра и построение отрезка, равного сумме двух других отрезков). Это доказательство основывается на логических рассуждениях и строгих математических принципах.