Для каких натуральных значений Р дробь 46/5р+16 будет несократимой?

Stepan

31

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

Мы хотим найти значения для \( P \), при которых дробь \( \frac{46}{5P} + 16 \) будет несократимой.

Чтобы дробь была несократимой, числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми, то есть их наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1.

Давайте рассмотрим дробь \( \frac{46}{5P} + 16 \). Воспользуемся свойствами арифметики для перемножения и суммирования дробей:

\[ \frac{46}{5P} + \frac{16 \cdot 5P}{5P} = \frac{46}{5P} + \frac{80P}{5P} = \frac{46 + 80P}{5P} \]

На данный момент, чтобы дробь была несократимой, числитель и знаменатель не должны иметь общих делителей, кроме 1.

Заметим, что числитель \( 46 + 80P \) является суммой двух целых чисел. А чтобы эта сумма была несократимой, числа 46 и 80P также должны быть взаимно простыми.

Теперь мы можем сделать следующие выводы:
1. Значение \( P \) должно быть таким, чтобы 80P и 46 были взаимно простыми.
2. Значение \( P \) также не должно быть таким, чтобы 5P было делителем числа 46.

Для вычисления наибольшего общего делителя можно воспользоваться алгоритмом Евклида. Однако, чтобы найти подходящие значения \( P \), воспользуемся другим подходом.

Возьмем число 46 и разложим его на простые множители: \( 46 = 2 \cdot 23 \).

Теперь проверим, является ли 5 делителем числа 46. Нет, 5 не является делителем числа 46.

Теперь у нас есть два простых множителя 2 и 23, а также отсутствует общий множитель с 5P. Значит, для любого натурального \( P \), кроме тех, для которых 5P делит число 46, дробь \( \frac{46}{5P} + 16 \) будет несократимой.

То есть, ответ на задачу: для всех натуральных значений \( P \), кроме тех, для которых \( 5P \) делит число 46, дробь \( \frac{46}{5P} + 16 \) будет несократимой.