Для всех значений t, которые удовлетворяют данному неравенству, ордината всех точек Pt на единичной окружности больше

Кроша_7156

54

Для решения данной задачи, нам необходимо определить все значения $t$, которые удовлетворяют данному неравенству $y_t\ge -\frac{1}{2}$, где $y_t$ - ордината точки $P_t$ на единичной окружности.

Давайте начнем с рассмотрения единичной окружности в декартовой системе координат. Эта окружность имеет центр в начале координат (0, 0) и радиус равен 1.

Для каждой точки $P_t$ на окружности, она будет иметь координаты $(x_t,y_t)$, где $x_t$ является абсциссой точки $P_t$, а $y_t$ - её ординатой.

Поскольку окружность с радиусом 1 имеет центр в начале координат (0, 0), то её уравнение будет задано следующим образом:

$$x_t^2+y_t^2=1$$

Затем обозначим неравенство, которое нам дано:

$$y_t\ge -\frac{1}{2}$$

На данной окружности, точки $P_t$ с ординатой $y_t$ меньше, чем -1/2, находятся ниже отрезка прямой $y=-\frac{1}{2}$, а точки $P_t$, у которых $y_t\ge -\frac{1}{2}$, находятся на или выше этого отрезка прямой.

Перейдем к решению уравнения окружности и найдем значения $y_t$, которые удовлетворяют неравенству $y_t\ge -\frac{1}{2}$.

Решение уравнения окружности:

$$x_t^2+y_t^2=1$$

Из этого уравнения, мы можем выразить $x_t^2$ следующим образом:

$$x_t^2=1-y_t^2$$

Теперь подставим это выражение в неравенство:

$$1-y_t^2+y_t^2\ge 1-\frac{1}{4}$$

Мы получили следующее:

$$1\ge \frac{3}{4}$$

Так как это верное утверждение, то это означает, что для всех значений $t$, ордината всех точек $P_t$ на единичной окружности больше или равна $-\frac{1}{2}$.

Таким образом, можно сказать, что неравенство $y_t\ge -\frac{1}{2}$ выполняется для всех значений $t$, где $t$ принадлежит к множеству всех действительных чисел.