Для заданного выражения 1+13/log3x-4 +42 /log ^23x-log3 (x^8/81) +12 нужно сформулировать объяснение, при каких

Sladkiy_Poni

8

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения переменной \(x\), при которых выражение

\[1 + \frac{13}{\log_3x-4} + \frac{42}{\log^2_3x-\log_3\left(\frac{x^8}{81}\right)} + 12\]

будет больше или равно нулю.

Давайте посмотрим на каждую часть выражения по отдельности и анализируем их значения.

Для начала рассмотрим \(\frac{13}{\log_3x-4}\). В данной дроби в знаменателе присутствует \(\log_3x-4\). Поскольку логарифм \(\log_3x\) является натуральным логарифмом, он будет положительным при всех значениях \(x\), больших единицы. Поэтому выражение \(\log_3x-4\) будет положительно при \(x>3^4=81\).

Далее рассмотрим \(\frac{42}{\log^2_3x-\log_3\left(\frac{x^8}{81}\right)}\). В этой дроби в знаменателе также присутствуют логарифмы. Давайте рассмотрим их значения более подробно.

Первый логарифм \(\log^2_3x\) будет неотрицательным при \(x\geqslant 1\), так как квадрат любого числа является неотрицательным числом.

Второй логарифм \(\log_3\left(\frac{x^8}{81}\right)\) принимает только положительные значения. Рассмотрим дробь \(\frac{x^8}{81}\). Числитель \(x^8\) является положительным числом для всех значений \(x\), а знаменатель 81 также положительный. Поэтому дробь \(\frac{x^8}{81}\) будет положительной при любых значениях \(x\). Следовательно, логарифм \(\log_3\left(\frac{x^8}{81}\right)\) также будет положительным для всех значений \(x\).

Итак, знаменатель дроби \(\frac{42}{\log^2_3x-\log_3\left(\frac{x^8}{81}\right)}\) всегда положителен при любых значениях \(x\), равных или больших 1.

Изучим теперь оставшиеся части выражения: \(1\) и \(12\). Поскольку константы, такие как 1 и 12, являются положительными числами, они никогда не могут сделать всю сумму отрицательной.

Таким образом, чтобы выражение \(1 + \frac{13}{\log_3x-4} + \frac{42}{\log^2_3x-\log_3\left(\frac{x^8}{81}\right)} + 12\) было больше или равно нулю, необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1) \(x>81\)
2) \(x\geqslant1\)

Таким образом, значения переменной \(x\) должны быть больше 81 или равны 1 и больше, чтобы выражение было больше или равно нулю.