До какой высоты достигла бы ракета, если бы воздушным сопротивлением можно было пренебречь, после вылета из сопла

Пятно

23

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии. Давайте представим, что начальная масса ракеты состояла из сгоревшего топлива массой 15 кг и оставшейся ракеты массой 585 кг (600 кг - 15 кг). Мы также будем считать, что сопротивление воздуха отсутствует.

Импульс определяется как произведение массы на скорость. По закону сохранения импульса, изменение импульса ракеты должно быть равно импульсу вылетевшей порции сгоревшего топлива:

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v"\]

Здесь \(m_1\) и \(v_1\) - масса и скорость топлива, \(m_2\) и \(v_2\) - масса и скорость оставшейся ракеты после вылета топлива, \(v"\) - скорость ракеты после вылета топлива. Подставляя значения, получаем:

\[15 \, \text{кг} \cdot 2 \, \text{км/с} + 585 \, \text{кг} \cdot 0 = (15 \, \text{кг} + 585 \, \text{кг}) \cdot v"\]

\[30 \, \text{кг} \, \text{км/с} = 600 \, \text{кг} \cdot v"\]

\[v" = \frac{30 \, \text{кг} \, \text{км/с}}{600 \, \text{кг}} = 0.05 \, \text{км/с}\]

Таким образом, скорость ракеты после вылета топлива составляет 0.05 км/с вверх.

Теперь мы можем использовать законы сохранения энергии, чтобы вычислить, до какой высоты достигнет ракета. Потенциальная энергия ракеты в начальный момент времени равна нулю (так как высота равна нулю), и она будет увеличиваться по мере подъема ракеты. Кинетическая энергия ракеты в начальный момент времени также равна нулю (так как скорость ракеты равна нулю), но она будет увеличиваться по мере вылета топлива.

Потенциальная энергия ракеты в конечный момент времени будет равна \(m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса ракеты, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с²), \(h\) - высота ракеты над поверхностью Земли.

Кинетическая энергия ракеты в конечный момент времени будет равна \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v"^2\), где \(m\) - масса ракеты, \(v"\) - скорость ракеты после вылета топлива.

Согласно закону сохранения энергии:

\[0 + 0 = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v"^2\]

\[0 = 600 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \cdot h + \frac{1}{2} \cdot 600 \, \text{кг} \cdot (0.05 \, \text{км/с})^2\]

\[0 = 5880 \, \text{Н} \cdot \text{м} \cdot h + 2.925 \, \text{кДж}\]

\[5880 \, \text{Н} \cdot \text{м} \cdot h = -2.925 \, \text{кДж}\] (обратите внимание на знак минус, который указывает на то, что работа силы тяжести была выполнена противоположно направлена движению)

\[h = \frac{-2.925 \, \text{кДж}}{5880 \, \text{Н} \cdot \text{м}} \approx -0.497 \, \text{м} \]

Таким образом, высота ракеты уменьшилась на приблизительно 0.497 метра после вылета топлива. Это отрицательное значение указывает, что ракета понизилась относительно исходной точки старта.