До якої температури нагріли 4 дм³ повітря під тиском 1,5⁢×10⁵ Па, якщо була виконана робота 150 Дж під час підняття

Сквозь_Подземелья

69

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать уравнение состояния идеального газа:

\[pV = nRT,\]

где \(p\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура.

В данной задаче мы знаем давление и объем, но не знаем количество вещества и конечную температуру. Однако, мы можем использовать информацию о работе, чтобы определить их.

В работе принимает участие только газ, поэтому сначала нам нужно определить количество вещества в системе. Для этого мы используем уравнение:

\[W = p\Delta V,\]

где \(W\) - работа, \(p\) - давление и \(\Delta V\) - изменение объема.

Мы знаем, что работа равна 150 Дж, а изменение объема равно разнице в объеме перед и после нагрева. Из условия задачи мы знаем только, что изначальный объем равен 4 дм³, но нам неизвестен конечный объем \(\Delta V\). Поэтому мы не можем найти количество вещества напрямую. Однако, мы можем воспользоваться формулой Бойля-Мариотта, которая связывает объем и давление газа при постоянной температуре:

\[p_1V_1 = p_2V_2,\]

где \(p_1\) и \(V_1\) - изначальные значения давления и объема, \(p_2\) и \(V_2\) - конечные значения давления и объема.

Мы знаем, что изначальное давление равно 1,5⁢×10⁵ Па, а изначальный объем равен 4 дм³.

Выразим \(V_2\) через известные значения в формуле Бойля-Мариотта:

\[V_2 = \frac{{p_1V_1}}{{p_2}}.\]

Теперь у нас есть выражение для изменения объема:

\(\Delta V = V_2 - V_1 = \frac{{p_1V_1}}{{p_2}} - V_1.\)

Подставим выражения в уравнение для работы:

\[W = p\Delta V = p(p_2V_2 - V_1).\]

Теперь мы можем найти искомую конечную температуру \(T_2\):

\[pV = nRT,\]

\(p_2V_2 = nRT_2.\)

Выразим \(T_2\) через известные значения:

\[T_2 = \frac{{p_2V_2}}{{nR}}.\]

Теперь у нас есть выражение для конечной температуры.

Поскольку \(p\), \(V\) и \(T\) в уравнении состояния идеального газа связаны, мы можем записать следующую пропорцию:

\(\frac{{p_1V_1}}{{T_1}} = \frac{{p_2V_2}}{{T_2}}.\)

Разобьем эту пропорцию на две части:

\(\frac{{p_1V_1}}{{p_2V_2}} = \frac{{T_1}}{{T_2}}.\)

Подставим выражения:

\(\frac{{p_1V_1}}{{p_1V_2 - V_1}} = \frac{{T_1}}{{\frac{{p_2V_2}}{{nR}}}}.\)

Теперь у нас есть выражение для поиска начальной температуры \(T_1\). Найдем величину для \(T_1\):

\[T_1 = \frac{{p_1V_1}}{{p_1V_2 - V_1}} \cdot \frac{{p_2V_2}}{{nR}}.\]

Подставим значения и рассчитаем:

\[T_1 = \frac{{(1,5⁢×10⁵ Па) \cdot (4 \, дм³)}}{{(1,5⁢×10⁵ Па) \cdot (V_2) - (4 \, дм³)}} \cdot \frac{{(1,5⁢×10⁵ Па) \cdot (V_2)}}{{(n) \cdot (R)}}.\]

Обратите внимание, что значение объема \(V_2\) у нас пока неизвестно. Однако, мы можем сократить общий множитель \((1,5⁢×10⁵ Па)\) в числителе и знаменателе.

Таким образом, выражение можно упростить до:

\[T_1 = \frac{{4 \, дм³}}{{\frac{{V_2 - 4 \, дм³}}{{nR}}}}.\]

Теперь нам нужно найти значение \(V_2\). Для этого воспользуемся уравнением для изменения объема:

\(\Delta V = \frac{{V_2 - 4 \, дм³}}{{nR}}.\)

Подставим значение работи \(W = 150 Дж\), полученное из условия задачи:

\(150 Дж = (1,5⁢×10⁵ Па) \cdot \frac{{V_2 - 4 \, дм³}}{{nR}}.\)

Теперь мы можем решить это уравнение для \(V_2\):

\(150 Дж = \frac{{V_2 - 4 \, дм³}}{{nR}}.\)

Умножим обе стороны уравнения на \((nR)\):

\(150 Дж \cdot (nR) = V_2 - 4 \, дм³.\)

Раскроем скобки:

\(150 Дж \cdot (nR) = V_2 - 4 \, дм³.\)

Теперь добавим \(4 \, дм³\) к обеим сторонам:

\(150 Дж \cdot (nR) + 4 \, дм³ = V_2.\)

Подставим это значение \(V_2\) в выражение для \(T_1\):

\[T_1 = \frac{{4 \, дм³}}{{\frac{{150 Дж \cdot (nR) + 4 \, дм³ - 4 \, дм³}}{{nR}}}}.\]

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[T_1 = \frac{{4 \, дм³}}{{\frac{{150 Дж \cdot (nR) + 4 \, дм³}}{{nR}}}}.\]

Мы видим, что \((nR)\) в числителе и знаменателе сокращается:

\[T_1 = \frac{{4 \, дм³}}{{\frac{{150 Дж + 4 \, дм³}}{{1}}}}.\]

Теперь можем рассчитать начальную температуру:

\[T_1 = \frac{{4 \, дм³}}{{\frac{{150 Дж}}{{1}} + \frac{{4 \, дм³}}{{1}}}} = \frac{{4 \, дм³}}{{150 Дж + 4 \, дм³}}.\]

Окончательно, ответ: начальная температура составляет \(\frac{{4 \, дм³}}{{150 Дж + 4 \, дм³}}\). Теперь можно рассчитать это значение.