Докажините отношение расстояний, пройденных за последовательные временные интервалы телом, которое начинает двигаться

Марина

21

Для доказательства отношения расстояний, пройденных за последовательные временные интервалы телом, которое начинает двигаться из состояния покоя с постоянным ускорением, мы можем использовать уравнения движения, связывающие расстояние, время и ускорение.

Одно из таких уравнений - это уравнение равномерно ускоренного движения:

\[s = ut + \frac{1}{2}at^2\]

где \(s\) - расстояние, \(u\) - начальная скорость (в данном случае 0, так как тело начинает двигаться из состояния покоя), \(a\) - ускорение и \(t\) - время.

Мы можем рассмотреть два временных интервала: первый интервал с начальным временем \(t_1\) и конечным временем \(t_2\), и второй интервал с начальным временем \(t_2\) и конечным временем \(t_3\). Обозначим расстояния, пройденные в этих интервалах, как \(s_1\) и \(s_2\) соответственно.

Для первого интервала (\(t_1\) до \(t_2\)):

\[s_1 = u(t_2 - t_1) + \frac{1}{2}a(t_2 - t_1)^2\]

Для второго интервала (\(t_2\) до \(t_3\)):

\[s_2 = u(t_3 - t_2) + \frac{1}{2}a(t_3 - t_2)^2\]

Теперь давайте рассмотрим отношение этих расстояний. Для этого поделим \(s_2\) на \(s_1\):

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{u(t_3 - t_2) + \frac{1}{2}a(t_3 - t_2)^2}{u(t_2 - t_1) + \frac{1}{2}a(t_2 - t_1)^2}\]

Теперь упростим это выражение. Сначала раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{u(t_3 - t_2) + \frac{1}{2}a(t_3 - t_2)^2}{u(t_2 - t_1) + \frac{1}{2}a(t_2 - t_1)^2} = \frac{u(t_3 - t_2) + \frac{1}{2}a(t_3^2 - 2t_2t_3 + t_2^2)}{u(t_2 - t_1) + \frac{1}{2}a(t_2^2 - 2t_1t_2 + t_1^2)}\]

Далее, попробуем сократить часть уравнения, содержащую скорость \(u\):

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{ut_3 - ut_2 + \frac{1}{2}at_3^2 - at_2t_3 + \frac{1}{2}at_2^2}{ut_2 - ut_1 + \frac{1}{2}at_2^2 - at_1t_2 + \frac{1}{2}at_1^2}\]

Cократим \(ut_2\) и \(ut_1\):

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{ut_3 - \cancel{ut_2} + \frac{1}{2}at_3^2 - at_2t_3 + \frac{1}{2}at_2^2}{\cancel{ut_2} - \cancel{ut_1} + \frac{1}{2}at_2^2 - at_1t_2 + \frac{1}{2}at_1^2}\]

Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть некоторые похожие слагаемые, их можно сократить:

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{ut_3 - at_2t_3 + \frac{1}{2}at_3^2 + \frac{1}{2}at_2^2}{- at_1t_2 + \frac{1}{2}at_2^2 - at_1t_2 + \frac{1}{2}at_1^2}\]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{ut_3 - at_2t_3}{- at_1t_2} + \frac{\frac{1}{2}at_3^2 + \frac{1}{2}at_2^2}{\frac{1}{2}at_2^2 - at_1t_2 + \frac{1}{2}at_1^2}\]

Поделим каждое слагаемое на \(t_2\):

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{u - at_2}{-at_1} + \frac{\frac{1}{2}at_3 + \frac{1}{2}at_2}{\frac{1}{2}at_2 - at_1 + \frac{1}{2}at_1t_2}\]

Теперь заметим, что \(a\) может быть записано как \(\frac{{v - u}}{{t}}\), где \(v\) - конечная скорость тела.

Воспользуемся этим свойством и подставим новое выражение для \(a\) в наше выражение:

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{u - \left(\frac{v - u}{t_2}\right)t_2}{-at_1} + \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_3}\right)t_3 + \frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_2}\right)t_2}{\frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_2}\right)t_2 - at_1 + \frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_3}\right)t_1t_2}\]

Сократим \(-at_1\) и \(-at_1 + \frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_3}\right)t_1t_2\):

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{u - \left(\frac{v - u}{t_2}\right)t_2}{-at_1} + \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_3}\right)t_3 + \frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_2}\right)t_2}{\frac{1}{2}\left(\frac{v - u}{t_2}\right)t_2 - \left(\frac{v - u}{t_3}\right)t_1t_2}\]

В данном случае можно заметить, что \(t_2\) сократится:

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{u - v + u}{-at_1} + \frac{\frac{1}{2}(v - u)t_3 + \frac{1}{2}(v - u)t_2}{\frac{1}{2}(v - u)t_2 - (v - u)t_1}\]

Упростим это выражение:

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{2u}{-at_1} + \frac{(v - u)(t_3 + t_2)}{(v - u)(t_2 - t_1)}\]

Сократим \(v - u\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{s_2}{s_1} = \frac{2u}{-at_1} + \frac{t_3 + t_2}{t_2 - t_1}\]

Таким образом, мы доказали, что отношение расстояний, пройденных за последовательные временные интервалы телом, которое начинает двигаться из состояния покоя с постоянным ускорением, равно \(\frac{2u}{-at_1} + \frac{t_3 + t_2}{t_2 - t_1}\).