Докажите, что длина основания равнобедренного треугольника больше половины единицы, при условии, что длина каждой

Lesnoy_Duh

67

Для доказательства данного утверждения, мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус угла между ними.

Пусть a - длина основания равнобедренного треугольника, b - длина каждой боковой стороны, а C - угол между ними.

Согласно теореме косинусов, мы можем записать:

$$a^2=b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos (C)$$

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, угол C является углом основания. В равнобедренном треугольнике боковые стороны и углы при основании равны между собой.

Таким образом, угол C будет равен углу между одной из боковых сторон и основанием, то есть $\frac{{180}^{\circ }-C}{2}$.

В данной задаче у нас равнобедренный треугольник, следовательно, все боковые стороны и углы между ними равны.

Тогда угол C будет равен:

$\frac{{180}^{\circ }-C}{2}=\frac{{180}^{\circ }-{60}^{\circ }}{2}={60}^{\circ }$.

Подставив значение угла C в формулу теоремы косинусов, получим:

$$a^2=b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos ({60}^{\circ })$$

$$a^2=2b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \frac{1}{2}$$

$$a^2=2b^2-b^2=b^2$$

Таким образом, мы получили, что $a^2=b^2$. Чтобы доказать, что длина основания больше половины единицы, нам нужно доказать, что $a>\frac{1}{2}$.

Возведем обе части уравнения $a^2=b^2$ в квадрат:

$$(a^2{)}^2=(b^2{)}^2$$

$$a^4=b^4$$

Теперь мы можем найти корень квадратный от обеих частей и получим:

$$a^2=b^2$$

$$a=b$$

Из условия задачи известно, что каждая боковая сторона равна 1:

$$a=1$$

Таким образом, получаем, что $1=b$.

Теперь, чтобы доказать, что $a>\frac{1}{2}$, мы можем подставить значение $b=1$ в неравенство:

$$a>\frac{1}{2}$$

$$1>\frac{1}{2}$$

Таким образом, мы доказали, что длина основания равнобедренного треугольника больше половины единицы.