Докажите, что длина основания равнобедренного треугольника больше половины единицы, при условии, что длина каждой

Lesnoy_Duh

67

Для доказательства данного утверждения, мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус угла между ними.

Пусть a - длина основания равнобедренного треугольника, b - длина каждой боковой стороны, а C - угол между ними.

Согласно теореме косинусов, мы можем записать:

\[a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(C)\]

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, угол C является углом основания. В равнобедренном треугольнике боковые стороны и углы при основании равны между собой.

Таким образом, угол C будет равен углу между одной из боковых сторон и основанием, то есть \(\frac{180^\circ - C}{2}\).

В данной задаче у нас равнобедренный треугольник, следовательно, все боковые стороны и углы между ними равны.

Тогда угол C будет равен:

\(\frac{180^\circ - C}{2} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\).

Подставив значение угла C в формулу теоремы косинусов, получим:

\[a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(60^\circ)\]

\[a^2 = 2b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \frac{1}{2}\]

\[a^2 = 2b^2 - b^2 = b^2\]

Таким образом, мы получили, что \(a^2 = b^2\). Чтобы доказать, что длина основания больше половины единицы, нам нужно доказать, что \(a > \frac{1}{2}\).

Возведем обе части уравнения \(a^2 = b^2\) в квадрат:

\[(a^2)^2 = (b^2)^2\]

\[a^4 = b^4\]

Теперь мы можем найти корень квадратный от обеих частей и получим:

\[a^2 = b^2\]

\[a = b\]

Из условия задачи известно, что каждая боковая сторона равна 1:

\[a = 1\]

Таким образом, получаем, что \(1 = b\).

Теперь, чтобы доказать, что \(a > \frac{1}{2}\), мы можем подставить значение \(b = 1\) в неравенство:

\[a > \frac{1}{2}\]

\[1 > \frac{1}{2}\]

Таким образом, мы доказали, что длина основания равнобедренного треугольника больше половины единицы.