Докажите, что для любого натурального числа N выражение (11N - 1)^2 - (5N + 1)^2 является кратным целому числу

Мороженое_Вампир_5684

16

Давайте решим данную задачу.

У нас есть выражение: \((11N - 1)^2 - (5N + 1)^2\).

Для начала раскроем скобки по формуле \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):

\((11N - 1)^2 - (5N + 1)^2 = ((11N - 1) - (5N + 1)) \cdot ((11N - 1) + (5N + 1))\).

Упростив это выражение, получаем:

\((11N - 1 - 5N - 1) \cdot (11N - 1 + 5N + 1) = (6N - 2) \cdot (16N) = 96N(N - \frac{1}{3})\).

Получается, что \((11N - 1)^2 - (5N + 1)^2\) равно \(96N(N - \frac{1}{3})\).

Докажем, что данный результат является кратным целому числу.

Для этого нужно показать, что \(96N(N - \frac{1}{3})\) делится без остатка на любое целое число.

Заметим, что 96 делится на 3 и на 32 без остатка.

Варианты рассмотрения:

1) Если N делится на 3 без остатка, то \(N - \frac{1}{3}\) тоже будет делиться на 3 без остатка, и тогда \(96N(N - \frac{1}{3})\) будет делиться на 96 без остатка.

2) Если N не делится на 3 без остатка, то \(96N(N - \frac{1}{3})\) будет делиться на 3 без остатка, так как один из множителей вида \(N(N - \frac{1}{3})\) уже делится на 3 как произведение двух чисел, одно из которых делится на 3.

Итак, мы показали, что выражение \((11N - 1)^2 - (5N + 1)^2\) (равное \(96N(N - \frac{1}{3})\)) является кратным целому числу, так как оно делится на 96.

Надеюсь, это решение было понятно и подробно объяснено. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!