Какие числовые характеристики можно найти для дискретной случайной величины, описывающей количество сорняков

Радужный_Мир

66

Рассмотрим задачу о количестве сорняков в 4 случайно отобранных зернах, предназначенных для очистки 100% сорняков.

Для начала нам нужно составить закон распределения для нашей случайной величины x - количество сорняков. В данной задаче количество сорняков может принимать значения от 0 до 4, так как мы выбираем 4 зерна для очистки. Количество сорняков - это дискретная случайная величина.

Допустим, вероятность нахождения одного сорняка в отдельно взятом зерне равна \(p\). Тогда вероятность того, что мы найдем 0 сорняков из 4 зерен, равна \((1-p)^4\) (так как находимся в ситуации "неудача" в каждом из 4 экспериментов по отбору зерна). Вероятность того, что найдется 1 сорняк из 4 зерен, равна \(C_4^1 \cdot p \cdot (1-p)^3\), где \(C_4^1\) - число сочетаний из 4 по 1. Аналогично, вероятности для 2, 3 и 4 сорняков равны \(C_4^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2\), \(C_4^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^1\) и \(C_4^4 \cdot p^4\) соответственно.

Теперь мы можем записать закон распределения для случайной величины x:

\[
P(x=k)=\begin{cases}
(1-p)^4, & \text{если } k=0 \\
C_4^1 \cdot p \cdot (1-p)^3, & \text{если } k=1 \\
C_4^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2, & \text{если } k=2 \\
C_4^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^1, & \text{если } k=3 \\
C_4^4 \cdot p^4, & \text{если } k=4 \\
0, & \text{в остальных случаях}
\end{cases}
\]

Где \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), вычисляется по формуле \(\frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\).

Теперь найдем математическое ожидание \(m(x)\) и дисперсию \(D(x)\) для нашей случайной величины.

Математическое ожидание \(m(x)\) равно сумме произведений каждого значения \(k\) на соответствующую вероятность \(P(x=k)\):

\[
m(x) = 0 \cdot (1-p)^4 + 1 \cdot C_4^1 \cdot p \cdot (1-p)^3 + 2 \cdot C_4^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2 + 3 \cdot C_4^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^1 + 4 \cdot C_4^4 \cdot p^4
\]

Теперь найдем дисперсию \(D(x)\), которая определяется разностью между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания:

\[
D(x) = m(x^2) - (m(x))^2
\]

Для каждого значения \(k\) найдем соответствующую вероятность \(P(x=k)\) и вычислим \(m(x^2)\):

\[
m(x^2) = 0^2 \cdot (1-p)^4 + 1^2 \cdot C_4^1 \cdot p \cdot (1-p)^3 + 2^2 \cdot C_4^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2 + 3^2 \cdot C_4^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^1 + 4^2 \cdot C_4^4 \cdot p^4
\]

Подставим все значения в формулу для дисперсии:

\[
D(x) = m(x^2) - (m(x))^2
\]

Теперь, имея закон распределения для случайной величины x, математическое ожидание \(m(x)\) и дисперсию \(D(x)\), мы можем полностью описать характеристики данной дискретной случайной величины.

Примечание: Здесь мы предполагаем, что каждое зерно отбирается независимо друг от друга и сорняки распределены равномерно. В реальности эти предположения могут не выполняться, и результаты могут отличаться. Однако данная модель позволяет нам получить представление о характеристиках случайной величины в рамках задачи.