Докажите, что граф отношения Р, представленный на изображении 104, не обладает свойством симметричности

Putnik_S_Zvezdoy_8731

50

Для доказательства того, что граф отношения Р не обладает свойством симметричности, антисимметричности и транзитивности, давайте рассмотрим каждое из этих свойств по очереди.

1. Симметричность:
Чтобы граф отношения был симметричным, каждая пара элементов \(a\) и \(b\), для которых есть дуга из \(a\) в \(b\), должна иметь соответствующую дугу из \(b\) в \(a\). Однако, посмотрите на изображение 104, и вы увидите, что существует дуга из вершины \(A\) в вершину \(B\), но нет дуги из вершины \(B\) в вершину \(A\). Следовательно, граф отношения Р не является симметричным.

2. Антисимметричность:
Для того чтобы граф отношения был антисимметричным, каждая пара элементов \(a\) и \(b\), для которых есть дуга из \(a\) в \(b\) и дуга из \(b\) в \(a\), должна быть одинаковыми. Однако, в данном графе наблюдается следующая ситуация: есть дуга из вершины \(A\) в вершину \(B\) и дуга из вершины \(B\) в вершину \(A\). Таким образом, это нарушает антисимметричность требований. Следовательно, граф отношения Р не обладает свойством антисимметричности.

3. Транзитивность:
Для того чтобы граф отношения был транзитивным, если есть дуга из вершины \(a\) в вершину \(b\) и дуга из вершины \(b\) в вершину \(c\), должна существовать дуга из вершины \(a\) в вершину \(c\). В данном графе можем наблюдать следующую ситуацию: есть дуга из вершины \(A\) в вершину \(B\) и дуга из вершины \(B\) в вершину \(C\), но нет дуги из вершины \(A\) в вершину \(C\). Это нарушает транзитивность требований. Следовательно, граф отношения Р не обладает свойством транзитивности.

Таким образом, мы доказали, что граф отношения Р, представленный на изображении 104, не обладает свойством симметричности, антисимметричности и транзитивности.