Докажите, что можно выбрать из компании группу из четырех человек и рассадить их за круглым столом таким образом, чтобы

Aleksandr

21

Эту задачу можно решить, применив принцип Дирихле, который гласит, что если \(n+1\) объектов распределить между \(n\) ящиками, то хотя бы в одном из ящиков окажется как минимум два объекта. Давайте рассмотрим применение этого принципа к нашей задаче.

У нас есть группа из \(n\) людей. Построим граф, где каждый человек представлен вершиной, а две вершины соединены ребром, если эти два человека знакомы между собой. Итак, у нас есть граф с \(n\) вершинами.

Теперь рассмотрим случай, когда мы выбираем из этой компании группу из четырех человек и рассаживаем их за круглым столом. Заметим, что круглый стол на самом деле можно рассматривать как цикл, где каждое место на столе соответствует вершине в нашем графе.

Предположим, что для каждого человека мы можем выбрать место за столом таким образом, чтобы он сидел рядом со своими знакомыми. Это означает, что каждая вершина графа будет соединена с соседними вершинами в цикле.

Теперь применим принцип Дирихле к нашей задаче. У нас есть \(n\) вершин, и мы пытаемся выбрать четыре из них. Число способов выбрать такую группу равно \(\binom{n}{4} = \frac{n!}{4!(n-4)!}\), где \(\binom{n}{4}\) - количество способов выбрать четыре из \(n\) объектов.

Теперь давайте посмотрим на число ребер в нашем графе. Поскольку каждый человек знаком с некоторыми другими, то число ребер в графе равно \(k\), где \(k\) - число рукопожатий между всеми парами людей в компании.

Обратим внимание, что каждый человек имеет ровно \(n-1\) знакомых. Поэтому общее количество рукопожатий равно \(\frac{1}{2} \cdot n \cdot (n-1)\).

Итак, мы знаем, что число ребер в графе равно \(k = \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n-1)\).

Теперь давайте рассмотрим количество треугольников в нашем графе. Поскольку каждый человек знаком с некоторыми другими, то число треугольников в графе равно \(t\), где \(t\) - количество треугольников, образованных тремя знакомыми людьми.

Обратим внимание, что каждый треугольник образуют три знакомых человека. Поэтому общее количество треугольников равно \(\frac{1}{6} \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\).

Итак, мы знаем, что число треугольников в графе равно \(t = \frac{1}{6} \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\).

Теперь давайте введем новую переменную \(c\), которая будет обозначать количество четверок вершин в нашем графе, где каждая четверка вершин образует знакомую группу людей.

Тогда общее количество возможных четверок вершин равно \(c = \binom{n}{4} = \frac{n!}{4!(n-4)!}\).

Заметим, что каждая четверка вершин может образовать как минимум один треугольник (потому что люди внутри этой группы знакомы друг с другом). Это означает, что \(c\) должно быть больше или равно \(t\), то есть:

\[\frac{n!}{4!(n-4)!} \geq \frac{1}{6} \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\]

Теперь давайте продолжим сравнение для получения более детального ответа. Если мы упростим это неравенство, получим:

\[\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}{4!(n-4)!} \geq \frac{1}{6} \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\]

Упрощая дальше, мы получим:

\[\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)}{4!} \geq \frac{1}{6} \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\]

Отменяя общие множители, получим:

\[(n-3) \geq \frac{1}{6} \cdot n\]

После умножения обеих сторон на 6, мы получаем:

\[6(n-3) \geq n\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[6n - 18 \geq n\]

\[5n \geq 18\]

\[n \geq 3.6\]

Итак, мы видим, что для любой компании, в которой количество вершин графа \(n\) меньше или равно 3, условие задачи невозможно выполнить. Однако, если количество вершин графа \(n\) больше 3, то условие задачи можно выполнить.

Таким образом, мы доказали, что можно выбрать из компании группу из четырех человек и рассадить их за круглым столом таким образом, чтобы каждый сидел рядом со своими знакомыми, только если количество человек в компании больше 3.