Какое наименьшее значение имеет функция y=2х - 2 sinx +7 на интервале между 0 и pi/2?

Ser

1

Для решения этой задачи, нам нужно найти наименьшее значение функции \(y = 2x - 2\sin(x) + 7\) на интервале от 0 до \(\frac{\pi}{2}\).

Шаг 1: Найдем точки экстремума, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[y"(x) = 2 - 2\cos(x).\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y"(x) = 0\), чтобы найти точки экстремума:
\[2 - 2\cos(x) = 0.\]

Вычтем 2 из обеих сторон:
\[-2\cos(x) = -2.\]

Разделим обе стороны на -2:
\[\cos(x) = 1.\]

На интервале от 0 до \(\frac{\pi}{2}\), смотрим значения \(\cos(x)\). В данном случае \(\cos(x) = 1\), когда \(x = 0\).

Шаг 3: Теперь найдем значения функции \(y\) в критических точках и на границах интервала (0 и \(\frac{\pi}{2}\)):
\[y(0) = 2 \cdot 0 - 2\sin(0) + 7 = 0 - 2(0) + 7 = 7.\]
\[y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = \pi - 2(1) + 7 = \pi + 5.\]

Шаг 4: Сравним найденные значения функции \(y\) и выберем наименьшее значение. В данном случае, наименьшим значением является \(y(0) = 7\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = 2x - 2\sin(x) + 7\) на интервале от 0 до \(\frac{\pi}{2}\) равно 7.