Какое наименьшее значение имеет функция y=2х - 2 sinx +7 на интервале между 0 и pi/2?

Ser

1

Для решения этой задачи, нам нужно найти наименьшее значение функции $y=2x-2\sin (x)+7$ на интервале от 0 до $\frac{\pi }{2}$.

Шаг 1: Найдем точки экстремума, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого найдем производную функции $y$ по $x$:
$$y"(x)=2-2\cos (x).$$

Шаг 2: Решим уравнение $y"(x)=0$, чтобы найти точки экстремума:
$$2-2\cos (x)=0.$$

Вычтем 2 из обеих сторон:
$$-2\cos (x)=-2.$$

Разделим обе стороны на -2:
$$\cos (x)=1.$$

На интервале от 0 до $\frac{\pi }{2}$, смотрим значения $\cos (x)$. В данном случае $\cos (x)=1$, когда $x=0$.

Шаг 3: Теперь найдем значения функции $y$ в критических точках и на границах интервала (0 и $\frac{\pi }{2}$):
$$y(0)=2\cdot 0-2\sin (0)+7=0-2(0)+7=7.$$
$$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cdot \frac{\pi }{2}-2\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+7=\pi -2(1)+7=\pi +5.$$

Шаг 4: Сравним найденные значения функции $y$ и выберем наименьшее значение. В данном случае, наименьшим значением является $y(0)=7$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y=2x-2\sin (x)+7$ на интервале от 0 до $\frac{\pi }{2}$ равно 7.