Докажите, что на множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) отношение иметь один и тот же остаток при делении на 3 является

Артём_4504

35

Чтобы доказать, что отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" является отношением эквивалентности на множестве \(x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)\), нам нужно проверить три основных свойства отношения эквивалентности: рефлексивность, симметричность и транзитивность. Давайте проверим каждое из них по очереди.

1. Рефлексивность: Чтобы доказать, что отношение рефлексивно, нужно показать, что каждый элемент \(x\) связан с самим собой. В данном случае, у каждого элемента есть остаток при делении на 3, и этот остаток будет равен самому себе. Например, \(1 \mod 3 = 1\), \(2 \mod 3 = 2\), \(3 \mod 3 = 0\), и так далее. Таким образом, отношение является рефлексивным.

2. Симметричность: Чтобы доказать, что отношение симметрично, нужно показать, что если элемент \(a\) связан с элементом \(b\), то элемент \(b\) также связан с элементом \(a\). В данном случае, если два элемента имеют одинаковый остаток при делении на 3, то можно утверждать, что они эквивалентны, и их отношение симметрично. Например, \(1 \mod 3 = 1\), а также \(4 \mod 3 = 1\). Это означает, что отношение является симметричным.

3. Транзитивность: Чтобы доказать, что отношение транзитивно, нужно показать, что если элемент \(a\) связан с элементом \(b\), и элемент \(b\) связан с элементом \(c\), то элемент \(a\) также связан с элементом \(c\). В данном случае, если два элемента имеют одинаковый остаток при делении на 3, и элемент \(b\) также имеет тот же остаток при делении на 3, то можно утверждать, что элемент \(a\) и элемент \(c\) эквивалентны и они имеют одинаковый остаток при делении на 3. Например, \(1 \mod 3 = 1\), \(4 \mod 3 = 1\), и также \(7 \mod 3 = 1\). Это означает, что отношение является транзитивным.

Таким образом, мы доказали, что отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" является отношением эквивалентности на множестве \(x = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)\).

Теперь разбиваем множество \(x\) на классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности будет содержать элементы, у которых остаток при делении на 3 одинаков. В данном случае, у нас получаются три класса эквивалентности:

Класс эквивалентности 1: \([1, 4, 7, 10]\)
Класс эквивалентности 2: \([2, 5, 8]\)
Класс эквивалентности 3: \([3, 6, 9]\)

Таким образом, мы получаем три класса эквивалентности для данного отношения на множестве \(x\).