Какой наибольший общий делитель у двух натуральных чисел, сумма которых равна 2021 и их наименьшее общее кратное равно

Timofey

13

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, 2021 и другого числа, сумма которых равна 2021, и их наименьшее общее кратное (НОК) равно 23220, нам потребуется использовать несколько шагов.

Давайте начнем с определения НОД и НОК. НОД двух чисел - это наибольшее число, которое одновременно делится на оба этих числа. НОК - это наименьшее число, которое делится на оба числа.

Мы знаем, что сумма двух чисел равна 2021, поэтому мы можем представить это уравнение в виде:

\[a + b = 2021\]

Где "a" и "b" - два числа, сумма которых равна 2021.

Также известно, что НОК двух чисел равен 23220:

\[НОК(a, b) = 23220\]

Теперь мы можем приступить к решению этой задачи.

1. Факторизация числа 23220:
Разложим число 23220 на простые множители. Это позволит нам узнать, какие простые числа входят в число 23220 и в какой степени.

Факторизация числа 23220 дает нам следующий результат:
\[2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 23\]

Теперь мы знаем, какие простые числа содержит число 23220 и в какой степени.

2. Запись суммы двух чисел:
Используя уравнение \(a + b = 2021\), мы можем выразить одно из чисел через другое. Например, выразим "a" через "b":
\[a = 2021 - b\]

3. Выражение НОК через факторизацию:
Зная факторизацию числа 23220 и выражение одного из чисел через другое, мы можем записать НОК через простые множители:
\[НОК(a, b) = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 23\]

4. НОД через НОК:
Теперь мы можем использовать факт, что НОК(a, b) равно произведению НОД(a, b) и их НОДа. То есть:
\[НОК(a, b) = НОД(a, b) \times НОК(a, b)\]
Поэтому:
\[НОД(a, b) = \frac{НОК(a, b)}{НОК(a, b)}\]

5. Подстановка факторизации и выражения "a":
Теперь подставим факторизацию числа 23220 и выражение "a" через "b" в уравнение для НОД:
\[НОД(2021 - b, b) = \frac{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 23}{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 23}\]

Сократим одинаковые множители и получим:
\[НОД(2021 - b, b) = 1\]

Это означает, что НОД(a, b) равно 1.

Таким образом, НОД двух натуральных чисел, сумма которых равна 2021, и их НОК равно 23220, равен 1.