Докажите, что основание равнобедренного треугольника больше половины его боковой стороны, при условии, что боковые

Веселый_Клоун

66

Давайте решим данную задачу. Для начала, давайте нарисуем равнобедренный треугольник и обозначим его стороны.

Пусть АВС - равнобедренный треугольник, где АВ=AC=1 - длина боковой стороны, а ∠CAB = 45° - угол между сторонами.

Теперь давайте разберемся, что такое основание треугольника. В равнобедренном треугольнике основание - это сторона, которая не является равной боковым сторонам. В этом случае основанием будет сторона BC.

Нам нужно доказать, что основание равнобедренного треугольника больше половины его боковой стороны.

Чтобы это сделать, воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

Где a, b, c - длины сторон треугольника, а C - угол между b и c.

В нашем случае а = b = 1, а C = 45°. Подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(45°)\]

Вычислим значение косинуса 45°:

\[\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Подставим этот результат в формулу:

\[c^2 = 2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}\]

Чтобы найти c, возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[c = \sqrt{2 - \sqrt{2}}\]

Теперь сравним это значение с половиной боковой стороны. Половина боковой стороны будет равна 0.5.

Итак, давайте сравним значения:

\[\sqrt{2 - \sqrt{2}} \mathop{>} 0.5\]

Чтобы доказать это неравенство, можно возвести обе части уравнения в квадрат:

\[2 - \sqrt{2} \mathop{>} 0.5^2\]

Упростим правую часть:

\[2 - \sqrt{2} \mathop{>} 0.25\]

Упростим левую часть:

\[\sqrt{2} \mathop{<} 2 - 0.25\]

\[\sqrt{2} \mathop{<} 1.75\]

Используем квадратный корень:

\[\sqrt{2} \mathop{<} \sqrt{1.75}\]

Так как значение \(\sqrt{2}\) около 1.414, а \(\sqrt{1.75}\) около 1.322, мы видим, что \(\sqrt{2} \mathop{>} \sqrt{1.75}\).

Значит, основание равнобедренного треугольника больше половины его боковой стороны.

Доказательство завершено.