Как разложить вектор BK на векторы BA=a, BC=c и BD=d в тетраэдре DABC, где точка T лежит на середине ребра AC, а точка

Сердце_Сквозь_Время

45

Для начала, давайте посмотрим на рисунок тетраэдра DABC для лучшего представления задачи.

\[
\begin{array}{cccccccccccc}
& & A & & & & & & B & & & \\
& & & / & & & & / & & & & \\
& & &/ & & & / & & & & & \\
& & T & - & - & - & - & K & & & & \\
&/ & & & & & & & & & & / \\
&/ & & & D & - & - & - & - & C & & / \\
\end{array}
\]

Теперь, нам нужно разложить вектор BK на векторы BA, BC и BD.

Для начала, давайте разложим вектор BC на векторы BA и AC.

\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}
\]

Чтобы найти вектор BA, мы можем использовать факт, что точка T лежит на середине ребра AC, поэтому вектор AT будет равным половине вектора AC.

Таким образом, мы можем записать:

\[
\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}
\]

Теперь, чтобы найти вектор BC, мы можем использовать тот же факт о точке T:

\[
\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC}
\]

Теперь у нас есть выражение для вектора BC через вектор AC.

Далее, мы можем разложить вектор BD на векторы BA и AD.

\[
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}
\]

Вектор BD эквивалентен вектору BC, поэтому мы можем записать:

\[
\frac{3}{2} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}
\]

Мы уже знаем выражение для вектора BA через вектор AC:

\[
\frac{3}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}
\]

Таким образом, мы можем записать:

\[
\overrightarrow{AD} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}
\]

Итак, мы получили выражение для вектора AD через вектор AC.

Теперь, чтобы разложить вектор BK на векторы BA, BC и BD, мы можем использовать выражения, которые мы уже нашли:

\[
\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}
\]

Заменяя выражения для векторов:

\[
\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC}
\]

Таким образом, вектор BK равен \(\frac{3}{2}\) вектора AC.

Вот пошаговое решение по разложению вектора BK на векторы BA, BC и BD.