Докажите, что отрезок PQ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника MNPQ

София

44

Чтобы доказать, что отрезок PQ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника MNPQ, нам нужно показать, что вектор, параллельный отрезку PQ, перпендикулярен векторам, параллельным сторонам прямоугольника MNPQ.

Предположим, что прямоугольник MNPQ лежит в плоскости, заданной векторами \(\vec{M}\) и \(\vec{N}\). Вектор \(\vec{PQ}\) является вектором, направленным от точки P к точке Q.

Чтобы убедиться, что \(\vec{PQ}\) перпендикулярен плоскости прямоугольника MNPQ, необходимо проверить, что \(\vec{PQ}\) перпендикулярен обоим векторам \(\vec{MN}\) и \(\vec{MP}\), параллельным сторонам прямоугольника.

Чтобы найти вектор \(\vec{MN}\), вычитаем из вектора \(\vec{N}\) вектор \(\vec{M}\):

\[
\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M}
\]

Чтобы найти вектор \(\vec{MP}\), вычитаем из вектора \(\vec{P}\) вектор \(\vec{M}\):

\[
\vec{MP} = \vec{P} - \vec{M}
\]

Теперь находим скалярное произведение вектора \(\vec{PQ}\) и вектора \(\vec{MN}\):

\[
\vec{PQ} \cdot \vec{MN} = (\vec{P} - \vec{Q}) \cdot (\vec{N} - \vec{M})
\]

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы \(\vec{PQ}\) и \(\vec{MN}\) перпендикулярны.

Аналогично находим скалярное произведение вектора \(\vec{PQ}\) и вектора \(\vec{MP}\):

\[
\vec{PQ} \cdot \vec{MP} = (\vec{P} - \vec{Q}) \cdot (\vec{P} - \vec{M})
\]

Если и скалярное произведение \(\vec{PQ} \cdot \vec{MP}\) равно нулю, то векторы \(\vec{PQ}\) и \(\vec{MP}\) перпендикулярны.

Если оба скалярных произведения равны нулю, то мы можем заключить, что отрезок PQ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника MNPQ.