Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер прямоугольного параллелепипеда, перпендикулярен

Yan_8847

30

Для начала, обозначим наш прямоугольный параллелепипед как ABCDA"B"C"D", где точки A, B, C, D - вершины основания, A", B", C", D" - вершины верхнего основания, а отрезки AA", BB", CC", DD" - ребра.

Чтобы доказать, что отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, перпендикулярен одной из боковых граней, нам нужно показать, что он перпендикулярен плоскости, содержащей данную боковую грань.

Для начала, найдем координаты середины ребра AA". Поскольку ребра параллельны оси X, координаты вершин A и A" будут отличаться только в координате X. Исходя из этого, можем записать координаты точек A и A" следующим образом: A(x₁, y₁, z₁) и A"(x₂, y₂, z₂), где x₁ ≠ x₂, а y₁, z₁, y₂, z₂ - произвольные значения.

Теперь найдем середину ребра AA" путем вычисления среднего арифметического координат начальной и конечной точек ребра. Обозначим середину ребра как M(xₘ, yₘ, zₘ). Используя формулы для нахождения среднего значения, получим:

xₘ = (x₁ + x₂) / 2,
yₘ = (y₁ + y₂) / 2,
zₘ = (z₁ + z₂) / 2.

Теперь обратимся к одной из боковых граней, например, к плоскости A"B"C"D". Для удобства обозначим точки B" и C" следующим образом: B"(x₂, y₂, z₁) и C"(x₁, y₁, z₂), где x₁ ≠ x₂, а y₁, z₁, y₂, z₂ - произвольные значения.

Найдем уравнение плоскости A"B"C"D" с помощью векторного произведения векторов B"C" и B"D". Вектор B"C" можно найти как разность координат векторов C" и B", а вектор B"D" - как разность координат векторов D" и B". Очевидно, что эти векторы лежат в плоскости A"B"C"D". Вычислим векторное произведение векторов B"C" и B"D":

\[\begin{vmatrix} i & j & k \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{1}-z_{2} \\ x_{2}-x_{1} & y_{1} & z_{2}-z_{1} \end{vmatrix}\]

= i \((y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1}) - (z_{1}-z_{2})y_{1}\) - j \((x_{2}-x_{1})(z_{2}-z_{1}) - (z_{1}-z_{2})(x_{2}-x_{1})\) + k \((x_{2}-x_{1})y_{1} - (y_{2}-y_{1})(x_{2}-x_{1})\).

Раскроем определитель и упростим выражение:

= i \((y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1}) + y_{1}(z_{1}-z_{2})\) - j \((x_{2}-x_{1})(z_{2}-z_{1}) + x_{1}(z_{1}-z_{2})\) + k \((x_{2}-x_{1})y_{1} - y_{2}(x_{2}-x_{1})\)

= i \((y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1}) + y_{1}(z_{1}-z_{2})\) - j \((x_{2}-x_{1})(z_{2}-z_{1}) + x_{1}(z_{1}-z_{2})\) - k \((y_{2} - y_{1})(x_{2} - x_{1})\).

Теперь уравнение плоскости A"B"C"D" можно записать следующим образом:

0 = i \((y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1}) + y_{1}(z_{1}-z_{2})\) - j \((x_{2}-x_{1})(z_{2}-z_{1}) + x_{1}(z_{1}-z_{2})\) - k \((y_{2} - y_{1})(x_{2} - x_{1})\).

Нам остается найти угол между прямой, проходящей через середину ребра AA", и плоскостью A"B"C"D". Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между прямой и плоскостью:

\(\cos(\theta) = \frac{{\text{{скалярное произведение нормали плоскости и направляющего вектора прямой}}}}{{|\text{{нормаль плоскости}}| |\text{{направляющий вектор прямой}}|}}\),

где \(\theta\) - искомый угол.

Найдем нормаль плоскости A"B"C"D". Исходя из коэффициентов уравнения плоскости, получим

\(\vec{n} = (y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})i - (x_{2}-x_{1})(z_{2}-z_{1})j - (y_{2}-y_{1})(x_{2}-x_{1})k\).

Направляющий вектор прямой, проходящей через середину ребра AA", равен

\(\vec{v} = \vec{AA"} = \left(\frac{{x_{1}+x_{2}}}{2}-x_{1}\right)\vec{i} + \left(\frac{{y_{1}+y_{2}}}{2}-y_{1}\right)\vec{j} + \left(\frac{{z_{1}+z_{2}}}{2}-z_{1}\right)\vec{k}\).

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла между прямой и плоскостью:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{n} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{n}| |\vec{v}|}}\).

После вычислений выражения, получим численное значение косинуса угла. Если угол равен 90 градусам, это означает, что прямая, проходящая через середину ребра AA", перпендикулярна плоскости A"B"C"D".

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер прямоугольного параллелепипеда, перпендикулярен одной из его боковых граней. При этом угол между прямой, проходящей через середину ребра прямоугольного параллелепипеда, и плоскостью, содержащей одну из его боковых граней, будет равен найденному численному значению.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!