Докажите, что перпендикуляры, проведенные к серединам любых двух сторон правильного многоугольника, либо пересекаются

Иван

16

попарно параллельны.

Для доказательства этого факта рассмотрим правильный многоугольник с n сторонами.

Пусть АВС...Z будет этим правильным многоугольником, а М и Н - середины сторон АВ и ВС соответственно.

Шаг 1: Докажем, что перпендикуляр, проведенный в точке М, пересекает перпендикуляр, проведенный в точке Н.

- Проведем перпендикуляр к стороне АВ, проходящий через точку М, и обозначим его как l.
- Проведем перпендикуляр к стороне ВС, проходящий через точку Н, и обозначим его как m.
- Заметим, что сторона ВС параллельна стороне АВ (поскольку обе стороны являются сторонами правильного многоугольника).
- Таким образом, перпендикуляры l и m параллельны между собой.
- Поскольку l пересекает сторону ВС в точке М, а m пересекает сторону АВ в точке Н, перпендикуляры l и m пересекаются в точке O (см. диаграмму ниже).

Теперь мы должны продемонстрировать следующее.

Шаг 2: Докажем, что перпендикуляры, проведенные в точках М и Н, параллельны двум другим сторонам многоугольника.

- Проведем перпендикуляр к стороне АС, проходящий через точку М, и обозначим его как p.
- Проведем перпендикуляр к стороне ВZ, проходящий через точку Н, и обозначим его как q.
- Так как сторона ВZ является продолжением стороны АС, они параллельны между собой.
- Поэтому перпендикуляры p и q, проведенные в точках М и Н соответственно, параллельны сторонам АС и ВZ (см. диаграмму ниже).

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляры, проведенные к серединам любых двух сторон правильного многоугольника, либо пересекаются в точке, либо попарно параллельны двум другим сторонам.

Это свойство правильных многоугольников может быть доказано как геометрически, так и алгебраически, но данное решение с геометрический подходом, на мой взгляд, более интуитивно понятно для школьников.