Докажите, что плоскость BCD и плоскость ACD являются перпендикулярными, учитывая, что отрезок AD перпендикулярен

Kosmicheskaya_Charodeyka_7681

41

Для доказательства перпендикулярности плоскостей BCD и ACD, нам необходимо воспользоваться свойствами перпендикулярных плоскостей и данной информацией о перпендикуляре AD.

По условию, отрезок AD перпендикулярен плоскости треугольника ABC, где угол ACB равен \(x\) градусов.

Пусть \(n\) - нормальный вектор плоскости BCD, а \(m\) - нормальный вектор плоскости ACD. Для того чтобы две плоскости были перпендикулярными, необходимо, чтобы их нормальные векторы были перпендикулярными, то есть скалярное произведение векторов \(n\) и \(m\) должно быть равно нулю.

Так как отрезок AD перпендикулярен плоскости ABC, его направление совпадает с направлением нормального вектора \(n\). Поэтому вектор \(n\) можно представить как \((0, 0, 1)\), где третья координата соответствует оси Z.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Угол ACD также равен \(x\) градусов, поскольку он является вертикальным углом у треугольника ABC. Таким образом, вектор \(m\) будет иметь направление, перпендикулярное плоскости ACD и может быть представлен как \((\cos x, \sin x, 0)\), где \(\cos x\) и \(\sin x\) - косинус и синус угла \(x\) соответственно.

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(n\) и \(m\):
\[
\begin{aligned}
n \cdot m &= (0, 0, 1) \cdot (\cos x, \sin x, 0) \\
&= 1 \cdot 0 + 0 \cdot \sin x + 1 \cdot 0 \\
&= 0.
\end{aligned}
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(n\) и \(m\) равно нулю, что означает, что нормальные векторы \(n\) и \(m\) перпендикулярны. Следовательно, плоскости BCD и ACD являются перпендикулярными.

Такое доказательство будет понятно школьнику и позволит ему лучше понять, почему плоскости BCD и ACD перпендикулярны, основываясь на данных из условия и свойствах перпендикулярных плоскостей.