Яка довжина бічного ребра правильної чотирикутної піраміди, якщо воно утворює кут α з площиною основи? Який об єм цієї

Муравей

45

Давайте рассмотрим задачу по шагам.

1. Начнем с уточнения терминологии. Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме квадрата и все боковые грани равны между собой.

2. Пусть длина бокового ребра пирамиды равна \(a\).

3. У нас есть угол \(\alpha\) между боковым ребром и плоскостью основания. Этот угол является внутренним углом пирамиды между основанием и боковым ребром.

4. Косинус угла \(\alpha\) можно выразить отношением стороны треугольника, образованного пирамидой, к гипотенузе этого треугольника. В данном случае гипотенузой будет боковое ребро, а стороной - половина стороны основания. Используя это соотношение, мы можем записать:

\[\cos(\alpha) = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}\]

Решим это уравнение относительно \(\alpha\):

\[\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \approx 60^\circ\]

Получили, что угол \(\alpha\) равен приблизительно \(60^\circ\).

5. Теперь перейдем к нахождению объема пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\]

Где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

6. Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, то основание - это квадрат. Площадь квадрата можно вычислить как \(S_{\text{основания}} = a^2\).

7. Основываясь на свойствах правильной четырехугольной пирамиды, легко найти высоту пирамиды \(h\). Высота пирамиды является высотой бокового треугольника, образованного в пирамиде.

Можно использовать теорему Пифагора для нахождения высоты четырехугольного пирамиды, зная длину бокового ребра \(a\) и радиус основания \(r\):

\[h = \sqrt{a^2 - r^2}\]

Но поскольку в квадратной пирамиде все боковые грани равны между собой, то \(r = \frac{a}{\sqrt{2}}\), так как это половина диагонали квадрата.

Подставляем эту информацию в формулу для высоты и получаем:

\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

8. Таким образом, мы получили высоту пирамиды \(h\) в виде \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).

9. Теперь, подставляем найденные значения площади основания \(S_{\text{основания}} = a^2\) и высоты \(h = \frac{a}{\sqrt{2}}\) в формулу для объема \(V\):

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^3}{3\sqrt{2}}\]

Ответ: Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна \(a\), а объем пирамиды равен \(\frac{a^3}{3\sqrt{2}}\).

Помните, что это решение предполагает, что задача именно о правильной четырехугольной пирамиде с квадратным основанием.