Докажите, что плоскость SAB перпендикулярна плоскостям A

Elisey

10

Для начала, давайте разберемся с определением перпендикулярности плоскостей. Две плоскости считаются перпендикулярными, если все прямые, пересекающие одну из них, перпендикулярны всем прямым, пересекающим другую плоскость.

Итак, нам нужно доказать, что плоскость SAB перпендикулярна плоскостям A и B. Для этого мы можем использовать два факта:

1. Векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярны ее нормали.
2. Если два вектора перпендикулярны одному и тому же вектору, то они перпендикулярны между собой.

Для начала, давайте определим векторы, лежащие в каждой из плоскостей.

Плоскость SAB задана тремя точками: S, A и B. Очевидно, что векторы \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{SB}\) лежат в плоскости SAB.

Плоскости A и B, заданные своими общими уравнениями, имеют нормали \(\mathbf{n}_A\) и \(\mathbf{n}_B\), соответственно.

Теперь мы можем сформулировать следующий аргумент:

Если плоскость SAB перпендикулярна плоскостям A и B, то векторы \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{SB}\) перпендикулярны их нормалям \(\mathbf{n}_A\) и \(\mathbf{n}_B\).

Другими словами, чтобы доказать перпендикулярность, нам нужно показать, что скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{SA}\) и \(\mathbf{n}_A\) равно нулю, и скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{SB}\) и \(\mathbf{n}_B\) также равно нулю.

Мы можем записать эти скалярные произведения в следующем виде:

\(\overrightarrow{SA} \cdot \mathbf{n}_A = |\overrightarrow{SA}| \cdot |\mathbf{n}_A| \cdot \cos(\theta_1)\), где \(\theta_1\) - угол между векторами \(\overrightarrow{SA}\) и \(\mathbf{n}_A\).

\(\overrightarrow{SB} \cdot \mathbf{n}_B = |\overrightarrow{SB}| \cdot |\mathbf{n}_B| \cdot \cos(\theta_2)\), где \(\theta_2\) - угол между векторами \(\overrightarrow{SB}\) и \(\mathbf{n}_B\).

Так как векторы \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{SB}\) лежат в плоскости SAB, они перпендикулярны ее нормале, то есть \(\theta_1 = \theta_2 = 90^\circ\).

Таким образом, \(\cos(\theta_1) = \cos(\theta_2) = 0\), и скалярные произведения равны нулю (\(\overrightarrow{SA} \cdot \mathbf{n}_A = 0\) и \(\overrightarrow{SB} \cdot \mathbf{n}_B = 0\)).

Таким образом, мы показали, что векторы \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{SB}\) перпендикулярны нормалям плоскостей A и B соответственно. Следовательно, плоскость SAB перпендикулярна плоскостям A и B.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как доказать перпендикулярность плоскости SAB плоскостям A и B. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.