Докажите, что при условии нод(a,b)=1, нод(2a+b,a(a+b))=1. Нод означает наибольший общий делитель

Zolotaya_Pyl

10

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

1. Нам дано условие: \(\text{НОД}(a, b) = 1\), где \(\text{НОД}\) обозначает наибольший общий делитель двух чисел \(a\) и \(b\).

2. Нам нужно доказать, что \(\text{НОД}(2a+b, a(a+b)) = 1\).

3. Для начала, мы предположим, что \(\text{НОД}(2a+b, a(a+b))\) не равен 1, и попробуем найти противоречие.

4. Пусть \(d\) будет наибольшим общим делителем двух чисел \(2a+b\) и \(a(a+b)\). Тогда мы можем записать следующее:
\[2a+b = dm\]
\[a(a+b) = dn\]
где \(m\) и \(n\) - некоторые целые числа.

5. Раскроем второе уравнение:
\[a(a+b) = dn\]
\[a^2 + ab = dn\]
\[a(a+b) = dn\]
Из этого уравнения мы можем заметить, что \(a\) делится на \(d\).

6. Заметим также, что \(2a+b = dm\) и \(a\) делится на \(d\), поэтому \(2a\) также делится на \(d\).
Тогда, используя первое уравнение, мы можем записать:
\(b = dm - 2a\)

7. Подставим найденное значение \(b\) во второе уравнение:
\[a(a+b) = dn\]
\[a(a+dm-2a) = dn\]
\[a(dm-a) = dn\]
\[ad(m-1) = dn\]
Из этого уравнения мы можем заметить, что \(a\) делится на \(d\).

8. Таким образом, мы обнаружили, что и \(a\) и \(b\) делятся на \(d\), что противоречит условию \(\text{НОД}(a, b) = 1\).
Это означает, что наше предположение было неверным.

9. В результате, мы можем заключить, что \(\text{НОД}(2a+b, a(a+b)) = 1\) при условии \(\text{НОД}(a, b) = 1\).

Таким образом, мы успешно доказали данное утверждение. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!