Докажите, что произведение двух многочленов, которые являются хорошими, также является хорошим многочленом

Pufik

44

Чтобы доказать, что произведение двух хороших многочленов также является хорошим многочленом, нам нужно понять, что такое "хороший" многочлен.

Многочлен считается хорошим, если в нем нет делителей нуля. Делитель нуля - это число, которое, умноженное на другое число, даёт ноль. Например, если у нас есть многочлен \(ax^2 + bx + c\), то он является хорошим, если при умножении на любой другой хороший многочлен не получается ноль.

Итак, пусть у нас есть два хороших многочлена: \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\) и \(Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \dots + b_1x + b_0\). Мы хотим доказать, что их произведение, обозначаемое \(R(x)\), также является хорошим многочленом.

Произведение многочленов \(P(x)\) и \(Q(x)\) можно выразить следующим образом:

\[R(x) = P(x)Q(x) = (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0)(b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \dots + b_1x + b_0)\]

Чтобы доказать, что \(R(x)\) является хорошим многочленом, нам нужно показать, что в нем нет делителей нуля. Допустим, что у нас есть делитель нуля \(D(x)\), отличный от нулевого многочлена, который умножен на \(R(x)\) даёт ноль:

\[D(x)R(x) = 0 \quad \text{(1)}\]

Мы знаем, что \(D(x)\) не нулевой, поэтому нам нужно разобраться с ситуацией, когда один из множителей \(P(x)\) или \(Q(x)\) является множителем нуля для \(D(x)\), и ситуацией, когда оба множителя являются множителями нуля.

Сначала рассмотрим ситуацию, когда один из множителей \(P(x)\) или \(Q(x)\) является множителем нуля для \(D(x)\). Пусть для определенности это будет \(P(x)\):

\[D(x)P(x)Q(x) = 0 \quad \text{(2)}\]

Так как \(P(x)\) является хорошим многочленом, то в нем нет делителей нуля, следовательно, \(D(x)Q(x) = 0\) (так как \(D(x)\) не ноль). Но это означает, что \(Q(x)\) также должен быть хорошим многочленом.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда оба множителя \(P(x)\) и \(Q(x)\) являются множителями нуля для \(D(x)\):

\[D(x)P(x)Q(x) = 0 \quad \text{(3)}\]

Так как \(P(x)\) и \(Q(x)\) оба являются хорошими многочленами, в каждом из них нет делителей нуля. Значит, произведение \(P(x)Q(x)\) также не содержит делителей нуля.

Таким образом, в каждом из случаев \((1), (2), (3)\) мы пришли к выводу, что произведение двух хороших многочленов также является хорошим многочленом. Мы использовали свойства многочленов и делителей нуля для проведения этого доказательства.