1) Який є значення першого члена геометричної прогресії, якщо сума перших n членів дорівнює 60, bn=40,5 і q=3?
1) Який є значення першого члена геометричної прогресії, якщо сума перших n членів дорівнює 60, bn=40,5 і q=3?
2) Яке значення n в геометричній прогресії, якщо сума перших n членів дорівнює 60, bn=40,5 і q=3?
2) Яке значення n в геометричній прогресії, якщо сума перших n членів дорівнює 60, bn=40,5 і q=3?
Антонович 50
Для решения данных задач о геометрической прогрессии мы будем использовать следующие формулы:1) Формула суммы n членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = \frac{{b_1 \cdot (q^n - 1)}}{{q - 1}} \]
Где:
- \( S_n \) - сумма первых n членов прогрессии.
- \( b_1 \) - значение первого члена прогрессии.
- \( q \) - знаменатель прогрессии.
2) Формула для нахождения n в геометрической прогрессии:
\[ n = \log_q \left( \frac{{b_n \cdot (q - 1) + b_1}}{{b_1 \cdot q - b_n}} \right) \]
Где:
- \( n \) - искомое значение, количество членов прогрессии.
- \( b_n \) - значение n-го члена прогрессии.
- \( b_1 \) - значение первого члена прогрессии.
- \( q \) - знаменатель прогрессии.
Теперь начнем решать задачи.
1) Для нахождения значения первого члена геометрической прогрессии, воспользуемся формулой суммы n членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = \frac{{b_1 \cdot (q^n - 1)}}{{q - 1}} \]
Подставляем известные значения и находим значение первого члена:
\[ 60 = \frac{{b_1 \cdot (3^n - 1)}}{{3 - 1}} \]
Переносим знаменатель на другую сторону:
\[ 60 \cdot (3 - 1) = b_1 \cdot (3^n - 1) \]
\[ 120 = b_1 \cdot (3^n - 1) \]
Теперь подставляем известные значения и находим значение первого члена:
\[ 120 = b_1 \cdot (3^n - 1) \]
\[ 120 = b_1 \cdot (3^n - 1) \]
\[ 120 = b_1 \cdot (27 - 1) \]
\[ 120 = b_1 \cdot 26 \]
Делим обе части уравнения на 26:
\[ \frac{{120}}{{26}} = b_1 \]
\[ 4,62 \approx b_1 \]
Таким образом, значение первого члена геометрической прогрессии равно примерно 4,62.
2) Для нахождения значения n в геометрической прогрессии, воспользуемся формулой для нахождения n:
\[ n = \log_q \left( \frac{{b_n \cdot (q - 1) + b_1}}{{b_1 \cdot q - b_n}} \right) \]
Подставляем известные значения и находим значение n:
\[ n = \log_3 \left( \frac{{40,5 \cdot (3 - 1) + 4,62}}{{4,62 \cdot 3 - 40,5}} \right) \]
\[ n = \log_3 \left( \frac{{81 + 4,62}}{{13,86 - 40,5}} \right) \]
\[ n = \log_3 \left( \frac{{85,62}}{{-26,64}} \right) \]
В данном случае, знаменатель отрицательный, что означает, что натуральное число n не может быть найдено. Поэтому невозможно определить значение n в данной геометрической прогрессии.
Это самые детальные и объясненные ответы для данных задач о геометрической прогрессии. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.