Найдите значения sin A, sin B, cos A, cos B, tg A и tg B для треугольника ABC, где AC равно 20см, AB равно 25см

Leonid

69

Для решения этой задачи будем использовать основные тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.

Шаг 1: Найдем значение угла A. Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами углов. Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \]

где c - сторона, противолежащая углу C, a и b - остальные две стороны треугольника, а C - угол между сторонами a и b.

В нашем случае, сторона AC равна 20 см, сторона AB равна 25 см. Пусть угол BAC равен A. Тогда, сторона BC - это неизвестная сторона треугольника. Подставим известные значения в формулу:

\[ BC^2 = 20^2 + 25^2 - 2 \cdot 20 \cdot 25 \cdot \cos A \]

\[ BC^2 = 400 + 625 - 1000 \cdot \cos A \]

Шаг 2: Найдем значение стороны BC, взяв квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[ BC = \sqrt{400 + 625 - 1000 \cdot \cos A} \]

Шаг 3: Найдем значение синуса угла A, используя отношение противолежащей стороны к гипотенузе:

\[ \sin A = \frac{BC}{AC} \]

Шаг 4: Найдем значение косинуса угла A, используя отношение прилежащей стороны к гипотенузе:

\[ \cos A = \frac{AB}{AC} \]

Шаг 5: Найдем значение тангенса угла A, используя отношение противолежащей стороны к прилежащей стороне:

\[ \tan A = \frac{BC}{AB} \]

Шаги 3-5 мы применяем аналогично для угла B.

Теперь, когда мы знаем, как найти значения трех тригонометрических функций для каждого угла, выполним вычисления.

\[ BC = \sqrt{400 + 625 - 1000 \cdot \cos A} \]

\[ \sin A = \frac{BC}{AC} \]
\[ \cos A = \frac{AB}{AC} \]
\[ \tan A = \frac{BC}{AB} \]

\[ \sin B = \frac{BC}{AB} \]
\[ \cos B = \frac{AC}{AB} \]
\[ \tan B = \frac{BC}{AC} \]

Теперь подставим известные значения:
AC = 20 см, AB = 25 см.

\[ BC = \sqrt{400 + 625 - 1000 \cdot \cos A} \]

\[ \sin A = \frac{BC}{20} \]
\[ \cos A = \frac{25}{20} \]
\[ \tan A = \frac{BC}{25} \]

\[ \sin B = \frac{BC}{25} \]
\[ \cos B = \frac{20}{25} \]
\[ \tan B = \frac{BC}{20} \]

Теперь можно продолжить подставлять значения и вычислить конечные результаты.