Докажите, что прямая, проходящая через центры двух противоположных граней, является перпендикулярной каждой

Кузнец

41

Чтобы доказать, что прямая, проходящая через центры двух противоположных граней, является перпендикулярной каждой, нам потребуется использовать некоторые свойства параллелограмма.

Отметим центр первой грани как точку \(A\), а центр второй грани - как точку \(B\). Пусть также есть другая точка \(C\) на первой грани и точка \(D\) на второй грани.

1. Параллелограмм имеет две пары противоположных сторон, которые параллельны. Таким образом, сторона \(AB\) (прямая, проходящая через центры граней) параллельна стороне \(CD\). Это можно обозначить как \(AB \, || \, CD\).

2. Также известно, что в параллелограмме диагонали делятся пополам. Поэтому точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам. Поскольку точка \(A\) является центром первой грани, она делит диагональ \(BD\) пополам. Аналогично, точка \(B\) делит диагональ \(AC\) пополам.

Теперь давайте рассмотрим треугольники \(\Delta ABC\) и \(\Delta ABD\). Мы знаем, что сторона \(AB\) общая для них обоих.

3. Так как точка \(A\) делит диагональ \(BD\) пополам, то сторона \(AD\) равна стороне \(BD\). То есть, \(AD = BD\).

4. Аналогично, так как точка \(B\) делит диагональ \(AC\) пополам, то сторона \(BC\) равна стороне \(AC\). То есть, \(BC = AC\).

5. Из двух предыдущих шагов мы видим, что треугольник \(\Delta ABD\) равносторонний, так как все его стороны равны. То есть, \(AD = BD\) и \(AB = AB\).

6. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Следовательно, угол между сторонами \(AD\) и \(AB\) равен 60 градусам.

7. Из шага 6 мы можем заключить, что угол \(\angle ADB\) является прямым углом (углом, равным 90 градусам), поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через центры двух противоположных граней, является перпендикулярной каждой.