Докажите, что прямые lk и b1d перпендикулярны в кубе abcda1b1c1d1, где точка l выбрана на ребре aa1, а точка

Мороз

10

Чтобы доказать, что прямые lk и b1d перпендикулярны в кубе abcda1b1c1d1, мы можем воспользоваться свойствами куба и векторной алгебры.

1. Построим векторы \(\vec{lk}\), \(\vec{b1d}\) и \(\vec{lb1}\). Затем найдем их координаты.

Вектор \(\vec{lk}\):
Для начала определим координаты точек l и k. Из условия задачи мы знаем, что точка l выбрана на ребре aa1 так, что al=1/4aa1. Пусть вектор \(\vec{aa1}\) имеет координаты \((x_1, y_1, z_1)\). Тогда координаты точки l равны \((\frac{3}{4} x_1, \frac{3}{4} y_1, \frac{3}{4} z_1)\).

Точка k выбрана на продолжении ребра b1c1 за точку c1 так, что c1k=3al. Пусть вектор \(\vec{b1c1}\) имеет координаты \((x_2, y_2, z_2)\). Тогда координаты точки k равны \((x_2 + \frac{3}{4} x_1, y_2 + \frac{3}{4} y_1, z_2 + \frac{3}{4} z_1)\).

Теперь мы можем вычислить координаты вектора \(\vec{lk}\):
\(\vec{lk} = \vec{k} - \vec{l} = (x_2 + \frac{3}{4} x_1 - \frac{3}{4} x_1, y_2 + \frac{3}{4} y_1 - \frac{3}{4} y_1, z_2 + \frac{3}{4} z_1 - \frac{3}{4} z_1)\)

Упрощая выражение, получим:
\(\vec{lk} = (x_2, y_2, z_2)\)

Вектор \(\vec{b1d}\):
Так как точка d1 и точка k лежат на ребре b1c1, вектор \(\vec{b1d}\) будет иметь те же координаты, что и вектор \(\vec{b1c1}\), то есть \((x_2, y_2, z_2)\).

Вектор \(\vec{lb1}\):
Из условия задачи мы знаем, что точка l выбрана на ребре aa1 так, что al=1/4aa1, поэтому вектор \(\vec{ll"}\) (где l" - конец ребра aa1) будет иметь координаты \((\frac{1}{4} x_1, \frac{1}{4} y_1, \frac{1}{4} z_1)\).

Ребро b1c1 параллельно ребру aa1, поэтому вектор \(\vec{b1c1}\) будет иметь те же координаты, что и вектор \(\vec{aa1}\), то есть \((x_1, y_1, z_1)\).

Теперь мы можем вычислить координаты вектора \(\vec{lb1}\):
\(\vec{lb1} = \vec{b1} - \vec{l} = (x_1 - \frac{1}{4} x_1, y_1 - \frac{1}{4} y_1, z_1 - \frac{1}{4} z_1)\)

Упрощая выражение, получим:
\(\vec{lb1} = (\frac{3}{4} x_1, \frac{3}{4} y_1, \frac{3}{4} z_1)\)

2. Проверим, являются ли векторы \(\vec{lk}\) и \(\vec{b1d}\) перпендикулярными.

Два вектора являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю:
\(\vec{lk} \cdot \vec{b1d} = x_2 \cdot x_2 + y_2 \cdot y_2 + z_2 \cdot z_2\)

Так как \(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = |\vec{b1c1}|^2\) и \(|\vec{b1c1}|\) является длиной ребра b1c1, равной длине ребра aa1, то \(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = |\vec{b1c1}|^2 = |\vec{aa1}|^2\).

Так как ребра aa1 и b1c1 куба равны по длине, то \(|\vec{aa1}|^2 = |\vec{b1c1}|^2\), а значит \(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2\).

То есть \(\vec{lk} \cdot \vec{b1d} = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2\).

Так как \(\vec{lk} \cdot \vec{b1d} = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2\), и эти величины равны между собой, следовательно, векторы \(\vec{lk}\) и \(\vec{b1d}\) перпендикулярны.

3. Чтобы найти угол между плоскостями b1lk и lkd1, мы можем воспользоваться свойствами попарно перпендикулярных прямых в пространстве.

Угол между плоскостями b1lk и lkd1 будет равен углу между прямыми lk и kd1, которые перпендикулярными прямыми находятся в параллельных плоскостях, поэтому их углы с плоскостями b1lk и lkd1 будут одинаковы.

Так как прямые lk и kd1 параллельны нижней плоскости abcda1b1c1d1, то угол между этими прямыми и плоскостью lkd1 будет прямым, то есть 90 градусов.

Таким образом, угол между плоскостями b1lk и lkd1 также будет равен 90 градусов.