Докажите, что расстояние от вершины В до прямой АМ равно длине одной из сторон параллелограмма АВСД, при условии

Романович_9419

34

Для доказательства данного утверждения, мы воспользуемся свойством параллелограмма.

Первым шагом рассмотрим параллелограмм ABCD:

$$\begin{array}{c}AB\\ \\ DC\end{array}$$

В данной задаче, мы имеем условие, что сторона AB параллельна стороне CD, так как AB и CD - стороны параллелограмма.

Теперь, по условию задачи, вершина A соединена с серединой М стороны CD и угол MAD равен $\alpha$.

Поскольку угол MAD равен $\alpha$, угол MDA также будет равен $\alpha$ (так как треугольник MAD - равнобедренный).

Рассмотрим треугольник MDA:

$$\begin{array}{c}M\\ \\ DA\end{array}$$

Мы знаем, что угол MDA равен углу MAD, то есть $\mathrm{\angle }MDA=\mathrm{\angle }MAD=\alpha$.

Также, параллельные прямые AB и CD образуют параллельные углы, поэтому

$\mathrm{\angle }MDA+\mathrm{\angle }ABD={180}^{\circ }$.

$\alpha +\mathrm{\angle }ABD={180}^{\circ }$.

Отсюда можно сделать вывод, что $\mathrm{\angle }ABD={180}^{\circ }-\alpha$.

Рассмотрим треугольник ABD:

$$\begin{array}{c}A\\ \\ BD\end{array}$$

Из угла ABD, мы можем сделать вывод, что угол BDA равен ${180}^{\circ }-\mathrm{\angle }ABD$, или, в нашем случае, ${180}^{\circ }-({180}^{\circ }-\alpha )$, что можно упростить до $\alpha$.

Теперь мы имеем два треугольника: MDA и ABD, у которых один и тот же угол $\alpha$, следовательно, они подобны.

Из подобия треугольников MDA и ABD, мы можем сделать вывод, что отношение длин сторон AD и AB равно отношению длин сторон MD и BD:

$\frac{AD}{AB}=\frac{MD}{BD}$

Но по условию, сторона AB равна стороне CD, поэтому мы можем заменить AB в уравнении на CD:

$\frac{AD}{CD}=\frac{MD}{BD}$

Мы также знаем, что MD - медиана треугольника SCD, которая делит сторону CD пополам и является половиной ее длины. То есть, MD = $\frac{1}{2}$ CD.

Подставляем это значение в наше уравнение:

$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{BD}$

Теперь упростим это уравнение, умножив обе стороны на 2 и сократив CD:

$2\cdot AD=BD$

Таким образом, мы доказали, что расстояние от вершины B до прямой AM равно длине стороны параллелограмма ABCD.

Это доказывает наше утверждение.