Какое уравнение окружности может быть, если оно проходит через точку 2 на оси Ox и через точку 8 на оси

Pyatno

22

Данная задача о построении уравнения окружности, проходящей через две указанные точки, может быть решена с помощью соответствующих геометрических свойств окружности.

Заметим, что условие о том, что центр окружности находится на оси O x, означает, что центр окружности имеет координаты ( r , 0 ), где r - радиус окружности. Таким образом, мы можем сформулировать следующие условия задачи:

1. Окружность проходит через точку (2, 0) и точку (0, 8).
2. Центр окружности находится на оси O x.

Для решения этой задачи мы можем использовать общее уравнение окружности:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \],

где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус.

Используя условие о том, что центр окружности находится на оси O x, мы можем утверждать, что a = r.

Теперь подставим заданные точки (2, 0) и (0, 8) в общее уравнение окружности:

\[ (2 - r)^2 + (0 - b)^2 = r^2 \] для точки (2, 0),

\[ (0 - r)^2 + (8 - b)^2 = r^2 \] для точки (0, 8).

Упростим эти уравнения:

\[ 4 - 4r + r^2 + b^2 = r^2 \],

\[ r^2 + (-r)^2 + (8 - b)^2 = r^2 \].

Заметим, что \( r^2 \) сокращается с каждым уравнением, и мы получаем систему уравнений:

\[ 4 - 4r + b^2 = 0, \]

\[ r^2 + (8 - b)^2 = 0 \].

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения можно выразить b через r:

\[ b^2 = 4r - 4. \]

Теперь подставим это выражение для b во второе уравнение:

\[ r^2 + (8 - 4r + 4)^2 = 0. \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ r^2 + (12 - 4r)^2 = 0. \]

Раскроем квадраты:

\[ r^2 + 144 - 96r + 16r^2 = 0. \]

Собрав все члены в одну сторону и сократив подобные слагаемые, получим:

\[ 17r^2 - 96r + 144 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя стандартную формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-96)^2 - 4(17)(144) = 9216 - 9792 = -576. \]

Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что квадратное уравнение не имеет рациональных решений. Отсюда следует, что такое уравнение окружности невозможно в реальных координатах.

Подводя итог, задача о построении такого уравнения окружности, проходящего через указанные точки и с центром на оси O x, не имеет решений в области действительных координат.