Докажите, что среди натуральных чисел x, y и z, для которых значения выражений x + y, y + z и x + z являются простыми

Yuliya

57

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим все возможные варианты значений выражений x + y, y + z и x + z, где x, y и z - натуральные числа.

Предположим, что все три выражения x + y, y + z и x + z дают простые числа. Тогда мы можем записать:

x + y = p (1),
y + z = q (2),
x + z = r (3),

где p, q и r - простые числа.

Теперь проведем преобразования, чтобы выразить каждую переменную в отдельности.

(1) + (2) - (3) :

(x + y) + (y + z) - (x + z) = p + q - r,
y + y = p + q - r,
2y = p + q - r.

Отсюда следует, что y является четным числом, так как сумма (p + q - r) - четное число, а деление на 2 даёт целое значение. Теперь предположим, что y = 2.

(1) - (2) :

(x + y) - (y + z) = p - q,
x - z = p - q.

Отсюда следует, что (p - q) является четным числом. Возможны два случая:

1) Если (p - q) = 2, то x = z.

2) Если (p - q) > 2, то (p - q) = 2k, где k - некоторое натуральное число. Тогда x = z + 2k.

Таким образом, мы доказали, что среди натуральных чисел x, y и z, для которых значения выражений x + y, y + z и x + z являются простыми числами, найдутся как минимум два числа x и z, которые равны друг другу.