Докажите, что сумма значений синусов углов прямоугольного треугольника, которые меньше 90 градусов, не больше

Звонкий_Спасатель

20

Чтобы доказать данное утверждение, нам потребуется знание определения синуса угла и свойства суммы углов треугольника.

Определение синуса угла:
Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника - это две стороны, образующие прямой угол.
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, противоположная прямому углу.

Свойство суммы углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Теперь докажем утверждение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол А - прямой угол, и углы В и С - острые углы (меньше 90 градусов).

Пусть угол В меньше 90 градусов, тогда справедливо следующее:
Синус угла В (sin B) = противолежащий катет / гипотенуза = СВ / AC.

Аналогично, синус угла С (sin C) = противолежащий катет / гипотенуза = СА / AC.

Рассмотрим сумму значений синусов углов В и С:
sin B + sin C = СВ / AC + СА / AC = (СВ + СА) / AC.

Обратим внимание, что СВ + СА представляет все противолежащие катеты треугольника ABC.

Таким образом, мы можем утверждать, что сумма значений синусов углов В и С равна отношению суммы всех противолежащих катетов треугольника к гипотенузе.

Следовательно, сумма значений синусов углов прямоугольного треугольника, которые меньше 90 градусов, не больше 1. (так как СВ + СА не может быть больше гипотенузы)

Таким образом, данное утверждение доказано.