Можно ли ситуация, в которой каждая вершина прямоугольника является вершиной ровно трех других прямоугольников

Чайный_Дракон

26

Для ответа на этот вопрос рассмотрим возможные варианты, которые могут возникнуть при наличии указанных условий.

Допустим, на прямоугольном столе лежат несколько картонных прямоугольников, и каждая вершина прямоугольника является вершиной ровно трех других прямоугольников, при этом никакие два прямоугольника не имеют четыре общие вершины. Для простоты рассмотрим случай, когда все вершины прямоугольников лежат на сторонах стола, а стороны прямоугольников параллельны сторонам стола.

Рассмотрим вершину A одного из прямоугольников. По условию, эта вершина является вершиной ровно трех других прямоугольников. Предположим, что вершина A является вершиной ровно двух прямоугольников, тогда она не может являться вершиной третьего прямоугольника, что противоречит условию задачи. Значит, вершина A является вершиной только одного прямоугольника.

Так как каждая вершина прямоугольника является вершиной ровно трех других прямоугольников, то из вершины A должно выходить две соединительные линии. Поскольку стороны прямоугольников параллельны сторонам стола, то такие соединительные линии могут быть только горизонтальными или вертикальными.

Пусть вершина A имеет две соединительные линии, одна горизонтальная и одна вертикальная. Пусть одна из этих линий соединяет вершину A с вершиной B, а другая линия соединяет вершину A с вершиной C.

Так как вершина A является вершиной только одного прямоугольника, то прямоугольник, в котором находится вершина B, должен иметь еще две вершины, чтобы сторона прямоугольника содержала соединительную линию между вершинами A и B. То же самое относится к прямоугольнику, в котором находится вершина C.

Получаем, что каждый из прямоугольников, в которых находятся вершины B и C, должен иметь еще две вершины. Однако, так как каждая вершина прямоугольника является вершиной ровно трех других прямоугольников, это приведет к бесконечному циклу: каждый новый прямоугольник, добавленный для подключения следующей вершины, будет требовать добавления новых прямоугольников, и так далее.

Таким образом, ситуация, в которой каждая вершина прямоугольника является вершиной ровно трех других прямоугольников, при условии, что никакие два прямоугольника не имеют четыре общие вершины, невозможна.

Это подробное объяснение демонстрирует, как мы приходим к такому выводу. В случае, если у вас есть дополнительные вопросы или понадобится дополнительное объяснение, пожалуйста, обращайтесь!