Докажите, что существуют три команды, которые до сих пор не сыграли ни одной игры друг с другом в футбольном турнире

Milochka

10

Чтобы доказать, что существуют три команды, которые до сих пор не сыграли ни одной игры друг с другом в футбольном турнире, нужно разобраться в общем количестве матчей, которые должны были состояться.

В каждом туре каждая команда играет с другими восемью командами. Поскольку у нас есть 20 команд и 8 туров, общее количество матчей можно рассчитать следующим образом:
\(20 \times 8 = 160\) матчей.

Давайте представим каждую команду символами от A до T. Теперь рассмотрим матчи, в которых две команды играют друг с другом. В каждом матче участвуют две команды, поэтому общее количество матчей, в которых участвовали две команды, равно:
\(\frac{{20 \times 8}}{2} = 80\) матчей.

Теперь давайте представим матчи между командами символами. Пусть каждая команда имеет свой символ (A, B, C, ..., T), а каждый матч обозначается двумя символами, представляющими участвующие команды (например, AB обозначает матч между командами A и B).

Таким образом, у нас есть 160 игр (или матчей). Мы уже установили, что имеется 80 матчей, в которых только две команды участвуют. Каждый матч имеет два символа, и поскольку каждая команда должна играть с каждой из других команд, мы должны иметь \(20 \times 19 = 380\) пар символов, где каждая комбинация символов представляет матч.

Теперь посмотрим на три команды, которые ранее не играли друг с другом. Мы можем представить эти команды символами (например, XYZ).

Если мы смотрим на все возможные пары символов (каждый из A...T с каждым из A...T), у нас будет \(20 \times 20 = 400\) комбинаций символов.

Поскольку у нас есть 400 комбинаций символов и только 380 пар символов, представляющих матчи, это означает, что есть некоторые комбинации символов (т.е. матчей), которые мы еще не рассмотрели. В частности, у нас еще нет комбинаций символов, в которых одна из команд - это X, Y или Z. То есть, команды X, Y и Z не играли друг с другом.

Таким образом, мы доказали, что существуют три команды (обозначим их X, Y и Z), которые до сих пор не сыграли ни одной игры друг с другом в футбольном турнире.