Докажите, что точка А1 делит отрезок ВС в отношении 1:2, при условии, что В1 - середина отрезка АС в треугольнике

Yuriy

29

Дано: В треугольнике ABC отрезок В1С является медианой, то есть В1 - середина отрезка АС.

Доказать: Точка А1 делит отрезок ВС в отношении 1:2.

Доказательство:

Для доказательства данного факта мы воспользуемся свойством медианы треугольника.

1. Заметим, что медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. То есть, отрезок А1С делит сторону ВС пополам. Обозначим точку пересечения медианы и стороны треугольника как D.

2. Поскольку В1 - середина отрезка АС, то можно сказать, что А1 и В1 делят этот отрезок в одинаковом отношении. Из этого следует, что А1С и В1С тоже делятся в отношении 1:1.

3. Так как В1С делится отрезком А1С в отношении 1:1, а отрезок А1С делится отрезком ВС пополам, то отношение В1С к ВС будет равно отношению А1С к ВС (по свойству равномерного деления).

4. Заметим, что отношение А1С к ВС равно 1:2 (так как А1С делит ВС пополам).

5. Следовательно, отношение В1С к ВС также равно 1:2 (вывод из пунктов 3 и 4).

Таким образом, мы доказали, что точка А1 делит отрезок ВС в отношении 1:2, при условии, что В1 - середина отрезка АС в треугольнике.