Докажите, что точка C также находится в плоскости альфа, где ABCD - параллелограмм, и точки A, B и D уже находятся

Zvezdnaya_Galaktika

35

Для того чтобы доказать, что точка C находится в плоскости альфа, где ABCD - параллелограмм, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и плоскости.

Параллелограмм ABCD - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Для начала, давайте разберемся с плоскостью альфа, в которой находятся точки A, B и D. Плоскость альфа можно задать с помощью нормального вектора \( \vec{n} \). Нормальный вектор плоскости альфа должен быть перпендикулярен к любому вектору, лежащему в плоскости альфа. Поскольку точки A, B и D находятся в плоскости альфа, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) лежат в плоскости альфа.

Давайте обозначим векторы следующим образом:
\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)
\(\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A}\)

Теперь будем использовать это обозначение во всем решении.

Сначала нам понадобится проверить, лежит ли вектор \(\vec{CD}\) в плоскости альфа. Для этого докажем, что он перпендикулярен нормальному вектору плоскости альфа.

Если вектор \(\vec{CD}\) перпендикулярен нормальному вектору плоскости альфа, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначим нормальный вектор плоскости альфа как \(\vec{n} = (n_1, n_2, n_3)\), а вектор \(\vec{CD}\) как \(\vec{D} - \vec{C} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C)\).

Теперь можем написать уравнение, используя скалярное произведение:

\(\vec{n} \cdot \vec{CD} = 0\)

Подставим значения векторов и получим:

\((n_1, n_2, n_3) \cdot (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) = 0\)

Теперь распишем скалярное произведение в виде суммы произведений соответствующих координат:

\(n_1(x_D - x_C) + n_2(y_D - y_C) + n_3(z_D - z_C) = 0\)

Раскроем скобки:

\(n_1x_D - n_1x_C + n_2y_D - n_2y_C + n_3z_D - n_3z_C = 0\)

Теперь давайте проанализируем значения точек A, B, C и D. Так как ABCD является параллелограммом, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равны. Это можно записать следующим образом:

\(\vec{AB} = \vec{CD}\)
\(\vec{B} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{C}\)

Из этого равенства следует, что:

\(x_B - x_A = x_D - x_C\)
\(y_B - y_A = y_D - y_C\)
\(z_B - z_A = z_D - z_C\)

Теперь вернемся к нашему уравнению:

\(n_1x_D - n_1x_C + n_2y_D - n_2y_C + n_3z_D - n_3z_C = 0\)

Мы только что выразили значения \(x_D - x_C\), \(y_D - y_C\) и \(z_D - z_C\) через значения \(x_B - x_A\), \(y_B - y_A\) и \(z_B - z_A\). Подставим их в уравнение:

\(n_1x_D - n_1x_C + n_2y_D - n_2y_C + n_3z_D - n_3z_C = 0\)

\(n_1(x_B - x_A) - n_1(x_B - x_A) + n_2(y_B - y_A) - n_2(y_B - y_A) + n_3(z_B - z_A) - n_3(z_B - z_A) = 0\)

\(0 = 0\)

Последнее уравнение истинно для любых значений \(n_1\), \(n_2\) и \(n_3\). Это означает, что точка C также находится в плоскости альфа, где ABCD - параллелограмм.

Таким образом, мы доказали, что точка C лежит в плоскости альфа, где ABCD - параллелограмм.