Докажите, что треугольник FDE, образованный соединением серединных точек сторон треугольника ABC, является

  • 69
Докажите, что треугольник FDE, образованный соединением серединных точек сторон треугольника ABC, является равнобедренным. Пожалуйста, приложите файл с доказательством.
Zolotaya_Pyl
35
Для доказательства, что треугольник FDE является равнобедренным, мы можем использовать свойство серединных линий треугольника.

Пусть точка M будет серединой стороны AB треугольника ABC, точка N - серединой стороны BC, а точка P - серединой стороны AC.

Учитывая это, мы имеем следующие равенства векторов:
AF=AM+MF
EF=EN+NF
ED=EP+PD

Поскольку F является точкой пересечения отрезков EM и FN, мы можем записать равенство:
MF=ME+EF+FN

Теперь посмотрим, что происходит, если мы сложим векторы AF и ED:
AF+ED=AM+MF+EP+PD

Заметим, что в правой части равенства векторы MF и EF встречаются дважды. Поэтому мы можем упростить это выражение:
AF+ED=AM+ME+EF+FN+EP+PD
AF+ED=AM+AP+MF+EF+FN+PD

Однако мы знаем, что векторы AM, AP и PD образуют замкнутый треугольник APM, а векторы ME, EF и FN образуют замкнутый треугольник MEF.

Таким образом, сумма векторов AF и ED равна нулевому вектору:
AF+ED=0

Это означает, что в треугольнике FDE две стороны, образованные соединением серединных точек сторон треугольника ABC, имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольник FDE является равнобедренным.

Вот файл с подробным доказательством: [Файл с доказательством](ссылка_на_файл)