Докажите, что треугольник FDE, образованный соединением серединных точек сторон треугольника ABC, является

Zolotaya_Pyl

35

Для доказательства, что треугольник FDE является равнобедренным, мы можем использовать свойство серединных линий треугольника.

Пусть точка M будет серединой стороны AB треугольника ABC, точка N - серединой стороны BC, а точка P - серединой стороны AC.

Учитывая это, мы имеем следующие равенства векторов:
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MF}$
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{NF}$
$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{PD}$

Поскольку F является точкой пересечения отрезков EM и FN, мы можем записать равенство:
$\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FN}$

Теперь посмотрим, что происходит, если мы сложим векторы $\overrightarrow{AF}$ и $\overrightarrow{ED}$:
$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{PD}$

Заметим, что в правой части равенства векторы $\overrightarrow{MF}$ и $\overrightarrow{EF}$ встречаются дважды. Поэтому мы можем упростить это выражение:
$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{PD}$
$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{PD}$

Однако мы знаем, что векторы $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{PD}$ образуют замкнутый треугольник APM, а векторы $\overrightarrow{ME}$, $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{FN}$ образуют замкнутый треугольник MEF.

Таким образом, сумма векторов $\overrightarrow{AF}$ и $\overrightarrow{ED}$ равна нулевому вектору:
$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$

Это означает, что в треугольнике FDE две стороны, образованные соединением серединных точек сторон треугольника ABC, имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольник FDE является равнобедренным.

Вот файл с подробным доказательством: [Файл с доказательством](ссылка_на_файл)