Докажите, что треугольник FDE, образованный соединением серединных точек сторон треугольника ABC, является

Zolotaya_Pyl

35

Для доказательства, что треугольник FDE является равнобедренным, мы можем использовать свойство серединных линий треугольника.

Пусть точка M будет серединой стороны AB треугольника ABC, точка N - серединой стороны BC, а точка P - серединой стороны AC.

Учитывая это, мы имеем следующие равенства векторов:
\(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MF}\)
\(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NF}\)
\(\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{PD}\)

Поскольку F является точкой пересечения отрезков EM и FN, мы можем записать равенство:
\(\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FN}\)

Теперь посмотрим, что происходит, если мы сложим векторы \(\overrightarrow{AF}\) и \(\overrightarrow{ED}\):
\(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MF} + \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{PD}\)

Заметим, что в правой части равенства векторы \(\overrightarrow{MF}\) и \(\overrightarrow{EF}\) встречаются дважды. Поэтому мы можем упростить это выражение:
\(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FN} + \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{PD}\)
\(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{MF} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FN} + \overrightarrow{PD}\)

Однако мы знаем, что векторы \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{PD}\) образуют замкнутый треугольник APM, а векторы \(\overrightarrow{ME}\), \(\overrightarrow{EF}\) и \(\overrightarrow{FN}\) образуют замкнутый треугольник MEF.

Таким образом, сумма векторов \(\overrightarrow{AF}\) и \(\overrightarrow{ED}\) равна нулевому вектору:
\(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}\)

Это означает, что в треугольнике FDE две стороны, образованные соединением серединных точек сторон треугольника ABC, имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольник FDE является равнобедренным.

Вот файл с подробным доказательством: [Файл с доказательством](ссылка_на_файл)