Докажите, что треугольники ABN и MBC подобны

Snegir

21

Чтобы доказать подобие треугольников ABN и MBC, мы должны показать, что у них соответствующие углы равны, а их стороны пропорциональны.

Для начала, посмотрим на углы. У нас есть две пары углов, которые мы можем сравнить.

Первая пара - угол B в треугольнике ABN и угол C в треугольнике MBC. Данные углы - вертикальные углы и по определению они равны между собой: \( \angle B = \angle C. \)

Вторая пара - угол ABN в треугольнике ABN и угол MBC в треугольнике MBC. Они оба являются прямыми углами, так как AB и BC - это два перпендикулярных отрезка. Таким образом, мы имеем: \(\angle ABN = \angle MBC = 90^\circ.\)

Теперь рассмотрим стороны треугольников. У нас есть две пары сторон, которые мы можем сравнить.

Первая пара - AB в треугольнике ABN и BC в треугольнике MBC. Пусть длины этих сторон будут обозначены как \(a\) и \(b\) соответственно.

Вторая пара - AN в треугольнике ABN и MC в треугольнике MBC. Пусть длины этих сторон будут обозначены как \(c\) и \(d\) соответственно.

Так как AB и BC - это стороны одного и того же прямоугольного треугольника, мы знаем, что они равны по длине: \(a = b.\)

Теперь рассмотрим стороны AN и MC. Мы можем заметить, что AN - это гипотенуза прямоугольного треугольника ABN, а MC - это гипотенуза прямоугольного треугольника MBC.

Так как ABN и MBC - это прямоугольные треугольники и у них одинаковые прямые углы, то по теореме Пифагора мы можем утверждать, что \(AN^2 = AB^2 + BN^2\) и \(MC^2 = MB^2 + BC^2.\)

Поскольку AB = BC и BN = MB по утверждению, что угол B = угол C, мы можем записать это как:

\(AN^2 = AB^2 + BN^2 = BC^2 + MB^2 = MC^2.\)

Таким образом, у нас есть равенство сторон: \(c^2 = d^2.\)

Мы получили равенство сторон и равенство углов для треугольников ABN и MBC. Следовательно, по определению, эти треугольники подобны.