Докажите, что у четырёхугольной призмы, одна из диагоналей которой пересекает три других диагонали, форма

Poyuschiy_Dolgonog

37

Для доказательства того, что у четырёхугольной призмы, одна из диагоналей которой пересекает три других диагонали, форма параллелепипеда, рассмотрим следующие шаги.

1. Введем обозначения для удобства работы с геометрией. Пусть ABCD - четырехугольник, F - точка пересечения трех диагоналей (AC, BD и EF), AB и CD - основания призмы, EF - ось призмы.

2. Докажем, что диагонали AB и CD параллельны. Рассмотрим треугольник ABC. Так как диагонали EF и AC пересекаются в точке F, то, согласно свойству треугольника, отрезок BE параллелен отрезку AF. Аналогично, так как EF пересекает BD и DC, отрезки EF и DE тоже будут параллельны. Поэтому, получили, что AB параллельна CD.

3. Докажем, что стороны параллелограмма ABDC равны между собой. Рассмотрим треугольник BCF. Так как EF является осью призмы, точка F, как и точка C, лежит на этой оси. Следовательно, отрезок BC параллелен EF. Аналогично, сторона AD параллельна EF. Так как DF является диагональю, а BC и AD параллельны, получаем, что стороны BC и AD равны между собой. Так как AB параллельно CD, а CB и AD равны между собой, получаем AB равно CD.

4. Докажем, что углы призмы прямые. Рассмотрим треугольник ABE. Он является прямоугольным, так как имеет прямой угол EAB из свойств прямоугольника. Также, угол BAE равен углу BCF, так как они соответственные при параллельных прямых AB и EF. Аналогичные рассуждения можно применить и к треугольнику CDE. Следовательно, углы призмы прямые и она является параллелепипедом.

Таким образом, мы доказали, что у четырёхугольной призмы, одна из диагоналей которой пересекает три других диагонали, форма является параллелепипедом.