Докажите, что угол ABC больше, если медиана BM треугольника ABC меньше половины его сторон AB

Chernyshka

46

Хорошо, давайте начнем с доказательства данного утверждения.

1. Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC, а медиана BM делит сторону AC пополам.
2. Обозначим точку пересечения медианы BM и стороны AC как D.
3. Так как медиана BM делит сторону AC пополам, то AD = DC.
4. Рассмотрим треугольник BDC. В нем мы видим, что две его стороны BD и DC равны сторонам AB и AC треугольника ABC. Также, углы BDC и BAC являются вертикальными углами (т.к. они образуются при пересечении двух прямых, AB и BC, параллельным AD). Поэтому треугольники BCD и ABC подобны по двум сторонам.
5. Поскольку треугольники BCD и ABC подобны, их соответствующие углы сходны. Значит, угол BCD равен углу BAC.
6. Теперь заметим, что угол BCA (угол при вершине треугольника) также равен углу BCD (по признаку равенства углов, образованных пересекающимися прямыми).
7. Таким образом, у нас получается, что угол BCA равен углу BCD, который в свою очередь равен углу BAC. Это значит, что угол BCA также равен углу BAC.
8. Теперь применим теорему о сумме углов треугольника. Угол BCA + угол ABC + угол CAB равны 180 градусов.
9. Предположим, что угол ABC меньше, чем угол BCA.
10. В этом случае сумма углов BCA и CAB будет больше 180 градусов, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.
11. Следовательно, наше предположение было неверным, и угол ABC больше, чем угол BCA.

Таким образом, мы доказали, что угол ABC больше, если медиана BM треугольника ABC меньше половины его сторон AB.