Параллелограммның диагоналі 12см, осы параллелограммнің қабырғаларының бірі 8см, бірақ олардың арасындағы бұрышы

Скорпион

20

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства параллелограмма и тригонометрические соотношения.

Первым шагом определим, какой из углов параллелограмма мы обозначим как \(\angle A\) и \(\angle B\). Зная, что диагонали параллелограмма делятся пополам, мы можем найти угол \(\angle A\).

\[\angle A = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ\]

Учитывая, что смежные углы параллелограмма суммируются до \(180^\circ\), мы можем найти угол \(\angle B\).

\[\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\]

Теперь, когда мы знаем все углы параллелограмма, мы можем применить формулу площади:

\[S = a \cdot h\]

Чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужно найти высоту \(h\). Для этого мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике \(\triangle AOB\), где \(OA\) и \(OB\) - стороны параллелограмма, а угол между ними равен \(30^\circ\).

Расстояние между кабургами параллелограмма равно длине диагонали, то есть:

\[OA = OB = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}\]

Теперь мы можем найти длину третьей стороны треугольника \(\triangle AOB\) по теореме косинусов:

\[6^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(30^\circ)\]

\[36 = 64 + 64 - 128 \cdot \cos(30^\circ)\]

\[36 = 128 - 128 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[128 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 128 - 36\]

\[128 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 92\]

\[\sqrt{3} = \frac{92}{128} \cdot 2\]

\[\sqrt{3} \approx 1.163\]

Теперь, когда у нас есть значения сторон треугольника \(\triangle AOB\) и угла между ними, мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, а \(C\) - угол между этими сторонами.

Подставляя значения, мы получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2}\]

\[S = 16 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь параллелограмма равна \(16 \, \text{см}^2\).