Докажите, что в случае, когда вершина параллелограмма находится на одинаковом расстоянии от середины каждой

Yachmen

27

Для начала, давайте вспомним некоторые определения и свойства параллелограммов. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Чтобы доказать, что параллелограмм является ромбом, мы должны показать, что он удовлетворяет двум условиям: все его стороны равны и вершина параллелограмма находится на одинаковом расстоянии от середины каждой стороны.

Начнем с условия, что все стороны параллелограмма равны. Параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Обозначим эти стороны как AB и CD. Также обозначим стороны BC и AD.

Если вершина параллелограмма находится на одинаковом расстоянии от середины каждой стороны, то длина отрезков AM, BM, CM и DM равна между собой, где М - середина каждой стороны (AM - середина стороны CD, BM - середина стороны AD, CM - середина стороны AB и DM - середина стороны BC).

Для начала, давайте разберемся с равенством сторон AB и CD. Так как параллелограмм, мы можем сказать, что стороны AB и CD имеют равные длины (AB = CD).

Теперь давайте рассмотрим равенство сторон BC и AD. Строим перпендикуляр к стороне AB, проходящий через точку A и обозначаем его пересечение с продолжением стороны CD как точка P. Используя свойство параллелограмма, можем сказать, что AP || BC и поэтому это перпендикуляр из точки A к BC (так как AB || CD, AP - граница AB). Это означает, что AP является высотой на BC. Аналогично, строим перпендикуляр от точки D к AB и обозначаем его точкой Q. Теперь мы видим, что и AM и DM - это половины диагоналей AC и BD. Так как AM = DM и AC = BD (так как AB = CD), то AM = DM = AC / 2 = BD / 2.

Так как OM и OD - это радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ОAD и ОBC, и AM = DM = AC / 2 = BD / 2, то MO = OD и DO = OD. Следовательно, треугольник AMD равнобедренный, а значит и ABCD - ромб.

Таким образом, мы доказали, что в случае, когда вершина параллелограмма находится на одинаковом расстоянии от середины каждой из его сторон, данный параллелограмм является ромбом.