Докажите, что ве является перпендикуляром

Belka

42

Чтобы доказать, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются перпендикулярными, мы должны убедиться, что их скалярное произведение равно нулю. Давайте рассмотрим эти векторы \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2)\).

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их координат и их сумма. Формула для скалярного произведения выглядит следующим образом:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\]

Однако перед тем, как мы продолжим с доказательством, давайте вспомним, что значит, что два вектора перпендикулярны. Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны, если угол между ними равен 90 градусам.

Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно найти с помощью следующей формулы:

\[\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

В нашем случае мы знаем, что угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 90 градусам, поскольку мы хотим доказать, что векторы перпендикулярны. Таким образом, \(\cos{\theta} = 0\).

Теперь, если мы заменим значение \(\cos{\theta}\) в формуле угла на 0, мы получим следующее:

\[0 = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

Умножив обе стороны уравнения на \(|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\), мы получим:

\[0 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}\]

причем 0 умноженное на любое другое число равно 0, поэтому получаем:

\[0 = \vec{a} \cdot \vec{b}\]

Это значит, что скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются перпендикулярными.