Докажите, используя метод доказательства от противного, что для любых натуральных чисел а и b, число 17 не может быть

Elisey_674

50

Хорошо, чтобы доказать это утверждение, воспользуемся методом доказательства от противного. Допустим, что для некоторых натуральных чисел а и b число 17 является корнем уравнения \(ax^2 - bx = 0\).

Предположим, что это уравнение имеет корень 17. Тогда мы можем записать его в виде:

\[a \cdot 17^2 - b \cdot 17 = 0\]

Упростим это выражение:

\[289a - 17b = 0\]

Домножим обе части уравнения на 17:

\[289a \cdot 17 - 17b \cdot 17 = 0\]

\[4913a - 289b = 0\]

Теперь посмотрим на полученное уравнение. Заметим, что левая часть содержит только нечетные коэффициенты, тогда как правая часть равна нулю.

Теперь давайте предположим, что это уравнение имеет еще одно решение \(a_1\), \(b_1\) (отличное от 0 и 17). Тогда мы получим:

\[4913a_1 - 289b_1 = 0\]

Заметим, что это уравнение также содержит только нечетные коэффициенты. Теперь предположим, что \(a_1\) и \(b_1\) являются наименьшими возможными решениями этого уравнения.

Теперь рассмотрим разность между этим уравнением и предыдущим:

\[(4913a - 289b) - (4913a_1 - 289b_1) = 0\]

\[4913(a - a_1) - 289(b - b_1) = 0\]

Заметим, что это уравнение также является уравнением с нечетными коэффициентами.

Однако, \(a - a_1\) и \(b - b_1\) меньше, чем \(a\) и \(b\) соответственно, так как \(a_1\) и \(b_1\) являются наименьшими решениями. Таким образом, мы получили новое решение, меньшее, чем наши предыдущие решения, что противоречит предположению о наименьших решениях.

Следовательно, мы пришли к противоречию. Уравнение \(ax^2 - bx = 0\) не может иметь корень 17. Доказательство от противного завершено.

Как видно из выкладок выше, данный метод доказательства позволяет установить, что число 17 не может быть корнем уравнения \(ax^2 - bx = 0\) для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\).