Докажите параллельность плоскостей для параллелепипеда abcda1b1c1d1: а) плоскости abb1 и cdd1 б) плоскости ab1d1

Пингвин

48

Конечно!

а) Для начала, нам нужно понять, какие условия должны быть выполнены, чтобы плоскости abb1 и cdd1 были параллельны друг другу. Две плоскости считаются параллельными, если их нормальные векторы (векторы, перпендикулярные плоскостям) параллельны или, иначе говоря, если их нормальные векторы имеют одинаковое направление.

Так как плоскость abb1 проходит через три точки a, b и b1, мы можем определить ее нормальный вектор с помощью векторного произведения двух векторов на плоскости abb1. Выберем, например, вектор ab и вектор ab1:

\(\overrightarrow{ab} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a)\)
\(\overrightarrow{ab1} = \overrightarrow{b1} - \overrightarrow{a} = (x_{b1} - x_a, y_{b1} - y_a, z_{b1} - z_a)\)

Теперь векторное произведение этих двух векторов даст нам нормальный вектор, параллельный плоскости abb1:

\(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{ab} \times \overrightarrow{ab1}\)

Аналогичным образом, мы можем определить нормальный вектор плоскости cdd1, используя векторное произведение векторов cd и cd1:

\(\overrightarrow{cd} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{c} = (x_d - x_c, y_d - y_c, z_d - z_c)\)
\(\overrightarrow{cd1} = \overrightarrow{d1} - \overrightarrow{c} = (x_{d1} - x_c, y_{d1} - y_c, z_{d1} - z_c)\)

\(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{cd} \times \overrightarrow{cd1}\)

После нахождения нормальных векторов плоскостей abb1 и cdd1, мы проверяем, являются ли они параллельными, сравнивая их направления. Если направления равны, то плоскости параллельны.

б) Для доказательства параллельности плоскостей ab1d1 и bdc1 мы можем использовать аналогичный подход. Определим вектор ab1 и вектор ad1:

\(\overrightarrow{ab1} = \overrightarrow{b1} - \overrightarrow{a} = (x_{b1} - x_a, y_{b1} - y_a, z_{b1} - z_a)\)
\(\overrightarrow{ad1} = \overrightarrow{d1} - \overrightarrow{a} = (x_{d1} - x_a, y_{d1} - y_a, z_{d1} - z_a)\)

Теперь найдём нормальный вектор плоскости ab1d1, используя векторное произведение этих двух векторов:

\(\overrightarrow{n_3} = \overrightarrow{ab1} \times \overrightarrow{ad1}\)

Аналогично, находим нормальный вектор плоскости bdc1, используя векторное произведение векторов bd и bc1:

\(\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} = (x_d - x_b, y_d - y_b, z_d - z_b)\)
\(\overrightarrow{bc1} = \overrightarrow{c1} - \overrightarrow{b} = (x_{c1} - x_b, y_{c1} - y_b, z_{c1} - z_b)\)

\(\overrightarrow{n_4} = \overrightarrow{bd} \times \overrightarrow{bc1}\)

После нахождения нормальных векторов плоскостей ab1d1 и bdc1, мы проверяем, являются ли они параллельными, сравнивая их направления.

В обоих случаях, если направления нормальных векторов плоскостей совпадают, то плоскости abb1 и cdd1, а также плоскости ab1d1 и bdc1 параллельны между собой.