Докажите равенство CB2 = CA ⋅ CD для касательной CB и секущей CA окружности. Подсказки для доказательства: 1) покажите

Ягодка

37

Для доказательства равенства \(CB^2 = CA \cdot CD\) в случае касательной \(CB\) и секущей \(CA\) окружности, мы можем применить несколько шагов и подсказок.

Шаг 1: Покажем, что \(\angle 2 = \angle 3\). Для этого мы проведем диаметр окружности, проходящий через точку \(B\) и перпендикулярный касательной \(CB\). Согласно свойствам окружностей, углы, образуемые хордами, лежащими на одной дуге, равны между собой. Таким образом, \(\angle 2 = \angle 3\).

Шаг 2: Докажем, что треугольники \(\Delta CBA\) и \(\Delta CDB\) подобны. Мы знаем, что \(\angle 2 = \angle 3\), поэтому у этих треугольников имеется пара равных углов. Также, по свойству касательной, угол между касательной и секущей равен углу, образованному хордой и дугой, лежащими на той же стороне от касательной. Таким образом, \(\angle BCA = \angle CBD\). Треугольники \(\Delta CBA\) и \(\Delta CDB\) имеют две пары равных углов, следовательно, они подобны.

Шаг 3: Рассмотрим пропорцию сторон \(\Delta CBA\) и \(\Delta CDB\). Мы знаем, что сторона \(CA\) относится к стороне \(CB\) в пропорции, соответствующей длине стороны \(CD\) относительно стороны \(CB\) (поскольку треугольники подобны). То есть \(\frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CB}\).

При умножении обеих частей этой пропорции на \(CB\), получим \(CA = CD\).

Шаг 4: Теперь мы можем возвести обе части этого равенства в квадрат, чтобы получить \(CA^2 = CD^2\).

Таким образом, мы доказали, что \(CB^2 = CA \cdot CD\) для касательной \(CB\) и секущей \(CA\) окружности.

Просьба убедиться, что все шаги выполнены правильно и всё представлено понятно для школьника.