Каков объем наклонной призмы ABCDA1B1C1D1, если AB = 10, AD = 4, угол ABD = 45 градусов, а высота равна 3 корню

Сон

1

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для расчета объема призмы. Объем призмы можно вычислить, умножив площадь основания на высоту призмы.

Для начала построим рисунок, чтобы лучше представить себе данную призму ABCDA1B1C1D1.

                A1-------B1

               / |      / |

              /  |     /  |

             /   |    /   |

            A----B---C----D

             |   /    |   /

             |  /     |  /

             | /      | /

             D1-------C1

Так как плоскость ABCD перпендикулярна плоскостям ABD и A1B1D1 (плоскости, которыми ограничена наша призма), то треугольники ABD и A1B1D1 подобны. Кроме того, эти треугольники имеют общий угол B, следовательно, отношение длины стороны A1B1 к длине стороны AB будет такое же, как отношение высоты A1D1 к высоте AD.

\[ \frac{{A1B1}}{{AB}} = \frac{{A1D1}}{{AD}} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{{A1B1}}{{10}} = \frac{{A1D1}}{{4}} \]

Покажем, как найти значение A1B1 и A1D1:

\[ A1B1 = \frac{{10 \cdot A1D1}}{4} \]

Теперь найдем значение высоты наклонной призмы. У нас есть угол между плоскостью ABD и плоскостью ABCD, обозначенный как ABD. Поскольку треугольник ABD прямоугольный с гипотенузой AB, с помощью тригонометрических соотношений мы можем найти значение высоты ABD.

\[ \sin(ABD) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{AD}}{{AB}} \]

\[ \sin(45^\circ) = \frac{{3 \sqrt{2}}}{{10}} \]

Теперь мы можем найти высоту A1D1, используя теорему Пифагора:

\[ A1D1 = \sqrt{{(\text{{высота ABD}})^2 + (\text{{противолежащий катет}})^2}} = \sqrt{{(3 \sqrt{2})^2 + 4^2}} \]

Подставим известные значения:

\[ A1D1 = \sqrt{{18 + 16}} = \sqrt{34} \]

Теперь мы можем найти A1B1:

\[ A1B1 = \frac{{10 \cdot \sqrt{34}}}{4} = \frac{{5 \sqrt{34}}}{2} \]

Наконец, найдем объем призмы. У нас есть площадь основания ABCD и высота ABD.

\[ S_{\text{{основания}}} = AB \cdot AD = 10 \cdot 4 = 40 \]

\[ V_{\text{{призмы}}} = S_{\text{{основания}}} \cdot \text{{высота ABD}} = 40 \cdot 3 \sqrt{2} = 120 \sqrt{2} \]

Таким образом, объем наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 равен \(120 \sqrt{2}\).