Докажите равнобедренность треугольника АВС и определите его основание, если координаты вершин известны: А(2;-2

Zolotoy_Klyuch

39

Для доказательства равнобедренности треугольника \(\triangle ABC\) сначала найдем длины всех сторон треугольника, а затем проверим условие равнобедренности.

1. Найдем длины сторон треугольника \(\triangle ABC\) с помощью формулы длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

Для стороны \(AB\):
\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
\[AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (6 - (-2))^2}\]
\[AB = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2}\]
\[AB = \sqrt{36 + 64}\]
\[AB = \sqrt{100}\]
\[AB = 10\]

Для стороны \(AC\):
\[AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\]
\[AC = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (4 - (-2))^2}\]
\[AC = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2}\]
\[AC = \sqrt{64 + 36}\]
\[AC = \sqrt{100}\]
\[AC = 10\]

2. Теперь проверим условие равнобедренности. Треугольник \(\triangle ABC\) является равнобедренным, если две его стороны равны. Мы уже вычислили, что \(AB = AC = 10\).

3. Определим основание равнобедренного треугольника \(\triangle ABC\). Основание равнобедренного треугольника - это сторона, не равная двум равным сторонам. Таким образом, основание равнобедренного треугольника - это сторона \(BC\).

Для нахождения длины стороны \(BC\):
\[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\]
\[BC = \sqrt{(-6 - (-4))^2 + (4 - 6)^2}\]
\[BC = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2}\]
\[BC = \sqrt{4 + 4}\]
\[BC = \sqrt{8}\]

Таким образом, мы доказали равнобедренность треугольника \(\triangle ABC\), и основание этого треугольника равно \(\sqrt{8}\).