Доведіть, що μ = (m2g-(m1+m2)a) / m1g, використовуючи рівняння другого закону Ньютона й ураховуючи, що T1 = T2 і Fтертя

Пугающий_Пират

12

Для доказательства данного уравнения нам потребуется воспользоваться вторым законом Ньютона.

Второй закон Ньютона утверждает, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение. Выглядит это следующим образом:

\[F = ma\]

Рассмотрим систему, состоящую из двух тел: тела массы \(m_1\) и тела массы \(m_2\), которые связаны между собой нитями. Пусть гравитационное ускорение равно \(g\), а ускорение, с которым движется система в целом, равно \(a\).

Сила тяжести, действующая на тело массы \(m_1\), равна \(F_1 = m_1g\). Сила тяжести, действующая на тело массы \(m_2\), равна \(F_2 = m_2g\). Так как нити натянуты, на каждое тело также действуют силы натяжения нитей \(T_1\) и \(T_2\).

По условию задачи, силы натяжения нитей равны \(T_1 = T_2\). Кроме того, задача говорит нам, что существует сила трения, обозначим ее \(F_{\text{трения}}\).

Применим второй закон Ньютона к каждому из тел:

Для тела массы \(m_1\):
\[m_1a = T_1 - F_1 - F_{\text{трения}}\]

Для тела массы \(m_2\):
\[m_2a = T_2 - F_2 - F_{\text{трения}}\]

Мы знаем, что \(T_1 = T_2\), поэтому можем записать:
\[m_1a = T_1 - F_1 - F_{\text{трения}}\]
\[m_2a = T_1 - F_2 - F_{\text{трения}}\]

Сложим эти два уравнения:
\[m_1a + m_2a = (T_1 - F_1 - F_{\text{трения}}) + (T_1 - F_2 - F_{\text{трения}})\]

Упростим выражение, учитывая, что \(T_1 = T_2\):
\[m_1a + m_2a = 2T_1 - (F_1 + F_2 + 2F_{\text{трения}})\]

Сосредоточимся на сумме сил тяжести и сил трения. Запишем ее вместе:
\[F_1 + F_2 + 2F_{\text{трения}} = m_1g + m_2g + 2F_{\text{трения}}\]

Теперь подставим полученное выражение в предыдущее:
\[m_1a + m_2a = 2T_1 - (m_1g + m_2g + 2F_{\text{трения}})\]

Используя определение силы натяжения нитей \(T_1\), можем записать:
\[m_1a + m_2a = 2(m_2g - F_{\text{трения}}) - (m_1g + m_2g + 2F_{\text{трения}})\]

Проведем необходимые операции для упрощения выражения:
\[m_1a + m_2a = 2m_2g - 2F_{\text{трения}} - m_1g - m_2g - 2F_{\text{трения}}\]

Далее, сгруппируем подобные слагаемые:
\[m_1a + m_2a = (-m_1g - m_2g) + (2m_2g - 2F_{\text{трения}} - 2F_{\text{трения}})\]

Выразим общую массу системы \((m_1+m_2)\):
\[m_1a + m_2a = -(m_1+m_2)g + 2(m_2g - 2F_{\text{трения}})\]

Наконец, поделим обе части уравнения на \(m_1g\):
\[\frac{m_1a + m_2a}{m_1g} = -\frac{m_1+m_2}{m_1} + 2\frac{m_2g - 2F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

Упростим и преобразуем выражение:
\[\frac{m_1a}{m_1g} + \frac{m_2a}{m_1g} = -\frac{m_1}{m_1} - \frac{m_2}{m_1} + 2\frac{m_2g}{m_1g} - 2\frac{2F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

Отбросим ненужные слагаемые и упростим дроби:
\[\frac{a}{g} + \frac{m_2a}{m_1g} = -1 - \frac{m_2}{m_1} + 2 - \frac{4F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

В результате получаем окончательное уравнение:
\[\frac{a}{g} + \frac{m_2a}{m_1g} = 1 - \frac{m_2}{m_1} - \frac{4F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

Теперь мы можем заметить, что \(\frac{a}{g}\) является отношением ускорения системы к гравитационному ускорению, и тоже самое справедливо для \(\frac{m_2a}{m_1g}\).

Обозначим \(\frac{a}{g}\) как \(\mu\), получим:
\[\mu + \frac{m_2a}{m_1g} = 1 - \frac{m_2}{m_1} - \frac{4F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

Перенесем слагаемое \(\frac{m_2a}{m_1g}\) налево и переупорядочим слагаемые:
\[\frac{m_2a}{m_1g} + \mu = 1 - \frac{m_2}{m_1} - \frac{4F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

\(\mu\) равно отношению ускорения системы к гравитационному ускорению, поэтому можем заменить его в левой части уравнения:
\[\frac{m_2a}{m_1g} + \frac{m_2a}{m_1g} = 1 - \frac{m_2}{m_1} - \frac{4F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

Общий знаменатель позволяет складывать дроби:
\[\frac{2m_2a}{m_1g} = 1 - \frac{m_2}{m_1} - \frac{4F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

Домножим обе части уравнения на \(\frac{m_1g}{2}\):
\[2m_2a = (m_1g - m_2g) - 4F_{\text{трения}}\]

Упростим правую часть выражения:
\[2m_2a = (m_1 - m_2)g - 4F_{\text{трения}}\]

Разделим обе части уравнения на \(m_1g\):
\[\frac{2m_2a}{m_1g} = \frac{(m_1 - m_2)g - 4F_{\text{трения}}}{m_1g}\]

Частоту \(F_{\text{трения}}\) обозначим как \(f\):
\[\frac{2m_2a}{m_1g} = \frac{(m_1 - m_2)g - 4f}{m_1g}\]

В результате получаем:
\[\mu = \frac{(m_1 - m_2)g - 4f}{m_1g}\]

Таким образом, мы доказали, что \(\mu = \frac{(m_1 - m_2)g - 4f}{m_1g}\), с использованием второго закона Ньютона и учета условий задачи.